Страница: << 315 316 317 318 319 320 321 >> [Всего задач: 2003]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 79383

Темы:   [ Правило произведения ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Комбинаторика орбит ] [ Теорема Лагранжа ]

Сложность: 4 Классы: 9,10

На пульте имеется несколько кнопок, с помощью которых осуществляется управление световым табло. После нажатия любой кнопки некоторые лампочки на табло переключаются (для каждой кнопки есть свой набор лампочек, причём наборы могут пересекаться). Доказать, что число состояний, в которых может находиться табло, равно некоторой степени числа 2.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 79404

Темы:   [ Длины сторон, высот, медиан и биссектрис ] [ Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности) ] [ Формула Герона ] [ Площадь треугольника (через высоту и основание) ] [ Целочисленные треугольники ]

Сложность: 4 Классы: 9,10

Радиус вписанной в треугольник окружности равен , а длины высот треугольника — целые числа, сумма которых равна 13. Вычислить длины сторон треугольника.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116224

Темы:   [ Параллелепипеды (прочее) ] [ Ортогональная проекция (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 10

Куб разбит на прямоугольные параллелепипеды так, что для любых двух параллелепипедов их проекции на некоторую грань куба перекрываются (то есть пересекаются по фигуре ненулевой площади). Докажите, что для любых трёх параллелепипедов найдётся такая грань куба, что проекции каждых двух из них на эту грань не перекрываются.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 55723

Темы:   [ Поворот помогает решить задачу ] [ Поворот на $90^\circ$ ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

Внутри квадрата A₁A₂A₃A₄ взята точка P. Из вершины A₁ опущен перпендикуляр на A₂P, из A₂ — перпендикуляр на A₃P, из A₃ — на A₄P, из A₄ — на A₁P. Докажите, что все четыре перпендикуляра (или их продолжения) пересекается в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64664

Тема:   [ Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

Многочлен P(x) удовлетворяет условиям:  P(0) = 1,  (P(x))² = 1 + x + x¹⁰⁰Q(x),  где Q(x) – некий многочлен.
Докажите, что коэффициент при x⁹⁹ в многочлене  (P(x) + 1)¹⁰⁰  равен нулю.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 315 316 317 318 319 320 321 >> [Всего задач: 2003]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями