Страница: << 312 313 314 315 316 317 318 >> [Всего задач: 2003]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 116219

Темы:   [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Ориентированные графы ] [ Сочетания и размещения ] [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

На доске выписано  (n – 1)n  выражений:   x₁ – x₂,  x₁ – x₃,  ...,  x₁ – x_n,  x₂ – x₁,  x₂ – x₃,  ...,  x₂ – x_n,  ...,  x_n – x_n–1,   где  n ≥  3.  Лёша записал в тетрадь все эти выражения, их суммы по два различных, по три различных и т. д. вплоть до суммы всех выражений. При этом Лёша во всех выписываемых суммах приводил подобные слагаемые (например, вместо  (x₁ – x₂) + (x₂ – x₃)  Лёша запишет  x₁ – x₃,  а вместо  (x₁ – x₂) + (x₂ – x₁)  он запишет 0).
Сколько выражений Лёша записал в тетрадь ровно по одному разу?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116249

Темы:   [ Четырехугольники (прочее) ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Радикальная ось ] [ Векторы помогают решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Дан такой выпуклый четырехугольник ABCD, что  AB = BC  и  AD = DC.  Точки K, L и M – середины отрезков AB, CD и AC соответственно. Перпендикуляр, проведенный из точки A к прямой BC, пересекается с перпендикуляром, проведенным из точки C к прямой AD, в точке H. Докажите, что прямые KL и HM перпендикулярны.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116250

Темы:   [ Целочисленные решетки (прочее) ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Можно ли так раскрасить все клетки бесконечной клетчатой плоскости в белый и чёрный цвета, чтобы каждая вертикальная прямая и каждая горизонтальная прямая пересекали конечное число белых клеток, а каждая наклонная прямая конечное число чёрных?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116251

Темы:   [ Задачи на движение ] [ Экстремальные свойства (прочее) ] [ Графики и ГМТ на координатной плоскости ] [ Исследование квадратного трехчлена ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Три спортсмена стартовали одновременно из точки A и бежали по прямой в точку B каждый со своей постоянной скоростью. Добежав до точки B, каждый из них мгновенно повернул обратно и бежал с другой постоянной скоростью к финишу в точке A. Их тренер бежал рядом и все время находился в точке, сумма расстояний от которой до участников забега была наименьшей. Известно, что расстояние от A до B равно 60 м и все спортсмены финишировали одновременно. Мог ли тренер пробежать меньше 100 м?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116422

Темы:   [ Десятичная система счисления ] [ Процессы и операции ] [ Полуинварианты ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Дано натуральное число. Разрешается расставить между цифрами числа плюсы произвольным образом и вычислить сумму (например, из числа 123456789 можно получить  12345 + 6 + 789 = 13140).  С полученным числом снова разрешается выполнить подобную операцию, и так далее. Докажите, что из любого числа можно получить однозначное, выполнив не более 10 таких операций.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 312 313 314 315 316 317 318 >> [Всего задач: 2003]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями