Страница: << 311 312 313 314 315 316 317 >> [Всего задач: 2003]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 111909

Темы:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Ломаные ] [ Произвольные многоугольники ] [ Центральная симметрия помогает решить задачу ] [ Поворот помогает решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9,10,11

Две точки на плоскости несложно соединить тремя ломаными так, чтобы получилось два равных многоугольника (например, как на рис.). Соедините две точки четырьмя ломаными так, чтобы все три получившихся многоугольника были равны. (Ломаные несамопересекающиеся и не имеют общих точек, кроме концов.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111915

Темы:   [ Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$ ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Поворот помогает решить задачу ] [ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Угол B при вершине равнобедренного треугольника ABC равен 120°. Из вершины B выпустили внутрь треугольника два луча под углом 60° друг к другу, которые, отразившись от основания AC в точках P и Q, попали на боковые стороны в точки M и N (см. рис.). Докажите, что площадь треугольника PBQ равна сумме площадей треугольников AMP и CNQ.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111922

Темы:   [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Сочетания и размещения ] [ Подсчет двумя способами ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Докажите, что при любых натуральных  0 < k < m < n  числа    и    не взаимно просты.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115506

Темы:   [ Обратные тригонометрические функции ] [ Тождественные преобразования (тригонометрия) ] [ Итерации ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Можно ли, применяя к числу 2 функции sin, cos, tg, ctg, arcsin, arccos, arctg, arcctg в любом количестве и в любом порядке, получить число 2010?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115512

Темы:   [ Выпуклость и вогнутость (прочее) ] [ Разложение на множители ] [ Алгебраические неравенства (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Докажите, что если числа x, y, z при некоторых значениях p и q являются решениями системы
     y = xⁿ + px + q,  z = yⁿ + py + q,  x = zⁿ + pz + q,
то выполнено неравенство  x²y + y²z + z²x ≥ x²z + y²x + z²y.
Рассмотрите случаи   а)  n = 2;   б)  n = 2010.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 311 312 313 314 315 316 317 >> [Всего задач: 2003]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями