Страница: << 314 315 316 317 318 319 320 >> [Всего задач: 2003]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 54585

Темы:   [ Построение треугольников по различным элементам ] [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Постройте треугольник по двум сторонам и биссектрисе, проведённым из одной вершины.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67304

Темы:   [ Соображения непрерывности ] [ Принцип крайнего (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9,10,11

В ряд стоят 9 вертикальных столбиков. В некоторых местах между соседними столбиками вставлены горизонтальные палочки, никакие две из которых не находятся на одной высоте. Жук ползёт снизу вверх; когда он встречает палочку, он переползает по ней на соседний столбик и продолжает ползти вверх. Известно, что если жук начинает внизу первого столбика, то он закончит свой путь на девятом столбике. Всегда ли можно убрать одну из палочек так, чтобы жук в конце пути оказался наверху пятого столбика?

Например, если палочки расположены как на рисунке, то жук будет ползти по сплошной линии. Если убрать третью палочку на пути жука, то он поползёт по пунктирной линии.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67325

Темы:   [ Обход графов ] [ Теория графов (прочее) ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Петя и Вася независимо друг от друга разбивают белую клетчатую доску $100\times 100$ на произвольные группы клеток, каждая из чётного (но не обязательно все из одинакового) числа клеток, каждый  – на свой набор групп. Верно ли, что после этого всегда можно покрасить по половине клеток в каждой группе из разбиения Пети в чёрный цвет так, чтобы в каждой группе из разбиения Васи было поровну чёрных и белых клеток?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67618

Темы:   [ Теория чисел. Делимость (прочее) ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Теория графов (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Назовём набор из $k$ последовательных натуральных чисел хорошим, если можно у каждого из этих чисел выбрать по простому делителю так, чтобы у всяких двух разных чисел были выбраны разные делители. В противном случае назовём набор плохим. При всяком ли натуральном $k$ количество плохих наборов из $k$ последовательных натуральных чисел конечно?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 79255

Темы:   [ Геометрия на клетчатой бумаге ] [ Раскраски ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9

Лист клетчатой бумаги размером N×N раскрасили в N цветов. (Каждую клеточку закрасили одним из этих N цветов или не закрасили вообще). "Правильной" раскраской называется такая, что в каждом столбце и в каждой строке нет двух клеточек одинакового цвета. Можно ли докрасить лист "правильным" способом, если сначала было "правильно" закрашено
а) N² - 1 клетка?
б) N² - 2 клетки?
в) N клеток?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 314 315 316 317 318 319 320 >> [Всего задач: 2003]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями