Страница: << 317 318 319 320 321 322 323 >> [Всего задач: 2003]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 65196

Темы:   [ Целочисленные и целозначные многочлены ] [ Формулы сокращенного умножения (прочее) ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Существуют ли такие два многочлена с целыми коэффициентами, что у каждого из них есть коэффициент, модуль которого больше 2015, но у произведения этих двух многочленов модули всех коэффициентов не превосходят 1?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65200

Темы:   [ Взаимное расположение высот, медиан, биссектрис и проч. ] [ Перпендикулярные прямые ] [ Отношения линейных элементов подобных треугольников ] [ Две пары подобных треугольников ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Конкуррентность высот. Углы между высотами. ] [ Признаки и свойства параллелограмма ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10

Дан треугольник ABC. Проведены высота AH и медиана CM. Обозначим точку их пересечения через P. Высота, проведённая из вершины B треугольника, пересекается с перпендикуляром, опущенным из точки H на прямую CM, в точке Q. Докажите, что прямые CQ и BP перпендикулярны.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65205

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Доказательство от противного ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Докажите, что в таблице 8×8 нельзя расставить натуральные числа от 1 до 64 (каждое по одному разу) так, чтобы в ней для любого квадрата 2×2 вида    было выполнено равенство  |ad – bc| = 1.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65206

Темы:   [ Вписанные многогранники ] [ Описанные многогранники ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

Все грани шестигранника – четырёхугольники, а в каждой его вершине сходятся по три ребра. Верно ли, что если для него существуют вписанная и описанная сферы, центры которых совпадают, то этот шестигранник – куб?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65210

Темы:   [ Рекуррентные соотношения (прочее) ] [ Периодичность и непериодичность ] [ Двоичная система счисления ] [ Производящие функции ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

День в Анчурии может быть либо ясным, когда весь день солнце, либо дождливым, когда весь день льет дождь. И если сегодня день не такой, как вчера, то анчурийцы говорят, что сегодня погода изменилась. Однажды анчурийские ученые установили, что 1 января день всегда ясный, а каждый следующий день в январе будет ясным, только если ровно год назад в этот день погода изменилась. В 2015 году январь в Анчурии был весьма разнообразным: то солнце, то дожди. В каком году погода в январе впервые будет меняться ровно так же, как в январе 2015 года?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 317 318 319 320 321 322 323 >> [Всего задач: 2003]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями