Страница: << 313 314 315 316 317 318 319 >> [Всего задач: 2003]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 116675

Темы:   [ Параллелограммы (прочее) ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Конкуррентность высот. Углы между высотами. ] [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9

В параллелограмме ABCD опустили перпендикуляр BH на сторону AD. На отрезке BH отметили точку M, равноудалённую от точек C и D. Пусть точка K – середина стороны AB. Докажите, что угол MKD прямой.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116689

Темы:   [ Турниры и турнирные таблицы ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

а) В футбольном турнире в один круг участвовало 75 команд. За победу в матче команда получала 3 очка, за ничью 1 очко, за поражение 0 очков. Известно, что каждые две команды набрали различное количество очков. Найдите наименьшую возможную разность очков у команд, занявших первое и последнее места.

б) Тот же вопрос для n команд.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116699

Темы:   [ Степень вершины ] [ Сочетания и размещения ] [ Мощность множества. Взаимно-однозначные отображения ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4 Классы: 11

На собрание пришло n человек  (n > 1).  Оказалось, что у каждых двух из них среди собравшихся есть ровно двое общих знакомых.
  а) Докажите, что каждый из них знаком с одинаковым числом людей на этом собрании.
  б) Покажите, что n может быть больше 4.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116704

Темы:   [ Двоичная система счисления ] [ Возрастание и убывание. Исследование функций ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 11

Учитель написал на доске в алфавитном порядке все возможные 2ⁿ слов, состоящих из n букв А или Б. Затем он заменил каждое слово на произведение n множителей, исправив каждую букву А на x, а каждую букву Б – на  (1 – x),  и сложил между собой несколько первых из этих многочленов от x. Докажите, что полученный многочлен представляет собой либо постоянную, либо возрастающую на отрезке  [0, 1]  функцию от x.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116705

Темы:   [ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ] [ Формула включения-исключения ] [ Композиции симметрий ] [ Доказательство от противного ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Оценка + пример ]

Сложность: 4 Классы: 11

После обеда на прозрачной квадратной скатерти остались тёмные пятна общей площади S. Оказалось, что если сложить скатерть пополам вдоль любой из двух линий, соединяющих середины противоположных её сторон, или же вдоль одной из двух её диагоналей, то общая видимая площадь пятен будет равна S₁. Если же сложить скатерть пополам вдоль другой её диагонали, то общая видимая площадь пятен останется равна S. Какое наименьшее значение может принимать величина  S₁ : S?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 313 314 315 316 317 318 319 >> [Всего задач: 2003]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями