Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 325 326 327 328 329 330 331 >> [Всего задач: 2003]

Задача 79288

Темы:	[	Взвешивания	]
	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Процессы и операции	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Автор: Конягин С.В.

Имеется несколько гирь, масса каждой из которых равна целому числу. Известно, что их можно разбить на k равных по массе групп.
Доказать, что не менее чем k способами можно убрать одну гирю так, чтобы оставшиеся гири нельзя было разбить на k равных по массе групп.

Прислать комментарий

Решение

Задача 79340

Темы:	[	Выпуклые многоугольники	]
	[	Объединение, пересечение и разность множеств	]
	[	Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.)	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Комбинаторная геометрия (прочее)	]
	[	Оценка + пример	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Найти наименьшее n такое, что любой выпуклый 100-угольник можно получить в виде пересечения n треугольников. Докажите, что для меньших n это можно сделать не с любым выпуклым 100-угольником.

Прислать комментарий Решение

Задача 79458

Темы:	[	Квадратичные неравенства (несколько переменных)	]
	[	Индукция (прочее)	]
	[	Принцип крайнего (прочее)	]
	[	Неравенство Коши	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Авторы: Гашков С.Б., Дранишников А.Н.

По кругу расставлено не менее четырёх неотрицательных чисел, в сумме равных единице.
Докажите, что сумма всех попарных произведений соседних чисел не больше ¼.

Прислать комментарий

Решение

Задача 79488

Темы:	[	Принцип Дирихле (прочее)	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители	]
	[	Правило произведения	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Произведение некоторых 1986 натуральных чисел имеет ровно 1985 различных простых делителей.
Доказать, что либо одно из этих чисел, либо произведение нескольких из них является квадратом натурального числа.

Прислать комментарий

Решение

Задача 79608

Темы:	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
Темы:	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Каково наименьшее число гирь в наборе, который можно разложить и на 3, и на 4, и на 5 кучек равной массы?

Прислать комментарий Решение

Страница: << 325 326 327 328 329 330 331 >> [Всего задач: 2003]