Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Тема: Все темы >> Геометрия >> Планиметрия >> Треугольники >> Равные треугольники. Признаки равенства
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 29 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Аня ждёт автобус. Какое событие имеет наибольшую вероятность?
  А = {Аня ждёт автобус не меньше минуты},
  В = {Аня ждёт автобус не меньше двух минут},
  С = {Аня ждёт автобус не меньше пяти минут}.

Вниз   Решение

У учеников 5А класса было в сумме 2015 карандашей. Один из них потерял коробку с пятью карандашами, а вместо неё купил коробку, в которой 50 карандашей. Сколько теперь карандашей у учеников 5А класса?

ВверхВниз   Решение

На сторонах AB и BC остроугольного треугольника ABC внешним образом построены квадраты ABC1D1 и A2BCD2.
Докажите, что точка пересечения прямых AD2 и CD1 лежит на высоте BH.

ВверхВниз   Решение

Точка E – середина той дуги AB описанной окружности треугольника ABC, на которой лежит точка C; C1 – середина стороны AB. Из точки E опущен перпендикуляр EF на AC. Докажите, что:
  а) прямая C1F делит пополам периметр треугольника ABC;
  б) три такие прямые, построенные для каждой стороны треугольника, пересекаются в одной точке.

ВверхВниз   Решение

Доказать, что если  p/q – несократимая рациональная дробь, являющаяся корнем полинома  f(x) с целыми коэффициентами, то  p – kq  есть делитель числа  f(k) при любом целом k.

ВверхВниз   Решение

Из вершины A остроугольного треугольника ABC по биссектрисе угла A выпустили бильярдный шарик, который отразился от стороны BC по закону "угол падения равен углу отражения" и дальше катился по прямой, уже ни от чего не отражаясь. Докажите, что если  ∠A = 60°,  то траектория шарика проходит через центр описанной окружности треугольника ABC.

ВверхВниз   Решение

Дан $ \Delta$ABC и точка D внутри него, причем AC - DA > 1 и BC - BD > 1. Берётся произвольная точка E внутри отрезка AB. Доказать, что EC - ED > 1.

ВверхВниз   Решение

Автор: Чернятьев Н.Л.

В каждой клетке доски 8×8 написали по одному натуральному числу. Оказалось, что при любом разрезании доски на доминошки суммы чисел во всех доминошках будут разные. Может ли оказаться, что наибольшее записанное на доске число не больше 32?

ВверхВниз   Решение

Дано уравнение  xn – a1xn–1 – a2xn–2 – ... – an–1x – an = 0,  где  a1 ≥ 0,  a2 ≥ 0,  an ≥ 0.
Доказать, что это уравнение не может иметь двух положительных корней.

ВверхВниз   Решение

На окружности даны четыре точки A, B, C, D. Через каждую пару соседних точек проведена окружность. Вторые точки пересечения соседних окружностей обозначим через A1, B1, C1, D1. (Некоторые из них могут совпадать с прежними.) Доказать, что A1, B1, C1, D1 лежат на одной окружности.

ВверхВниз   Решение

Автор: Богданов И.И.

В ряд стоят 100 детей разного роста. Разрешается выбрать любых 50 детей, стоящих подряд, и переставить их между собой как угодно (остальные остаются на своих местах). Как всего за шесть таких перестановок гарантированно построить всех детей по убыванию роста слева направо?

ВверхВниз   Решение

Дан треугольник ABC. На сторонах AB, BC, CA взяты соответственно точки C1, A1, B1 так, что  AC1 : C1B = BA1 : A1C = CB1 : B1A = 1 : n.  На сторонах A1B1, B1C1, C1A1 треугольника A1B1C1 взяты соответственно точки C2, A2, B2 так, что  A1C2 : C2B1 = B1A2 : A2C1 = C1B2 : B2A1 = n : 1.  Доказать, что  A2C2 || AC,  C2B2 || CB,   B2A2 || BA.

ВверхВниз   Решение

Автор: Филевич В.П.

Целые числа от 1 до n записаны в строчку. Под ними записаны те же числа в другом порядке. Может ли случиться так, что сумма каждого числа и записанного под ним есть точный квадрат  а) при  n = 9,   б) при  n = 11,   в) при  n = 1996.

ВверхВниз   Решение

Известно, что a, b и c — длины сторон треугольника. Докажите, что

$\displaystyle {\frac{a}{b+c-a}}$ + $\displaystyle {\frac{b}{c+a-b}}$ + $\displaystyle {\frac{c}{a+b-c}}$$\displaystyle \ge$3.

ВверхВниз   Решение

Точки K и L являются серединами боковых сторон AB и BC равнобедренного треугольника ABC. Точка M расположена на медиане AL так, что
AM : ML = 13 : 12.  Окружность с центром в точке M касается прямой AC и пересекает прямую KL в точках P и Q. Найдите периметр треугольника ABC, если  KL = 10,  PQ = 4.

ВверхВниз   Решение

На диагонали AC параллелограмма ABCD взята точка P так, что  AP : PC = 3 : 5.  Окружность с центром в точке P касается прямой BC и пересекает отрезок AD в точках K и L. Точка K лежит между точками A и L, AK = 9,  KL = 3,  LD = 12.  Найдите периметр параллелограмма ABCD.

ВверхВниз   Решение

Автор: Агаханов Н.Х.

У двух треугольников равны наибольшие стороны и равны наименьшие углы. Строится новый треугольник со сторонами, равными суммам соответствующих сторон данных треугольников (складываются наибольшие стороны двух треугольников, средние по длине стороны и наименьшие стороны). Докажите, что площадь нового треугольника не меньше удвоенной суммы площадей исходных.

ВверхВниз   Решение

Точка O — центр описанной окружности вписанного четырёхугольника ABCD . Известно, что ABC > ADC и AOC = BAD = 110o . Докажите, что AB+AD>CD .

ВверхВниз   Решение

Внутри треугольника ABC отмечена точка M так, что при этом  ∠BAM = ∠B,  ∠AMB = 100°,  ∠C = 70°.  Докажите, что  BM < AC.

ВверхВниз   Решение

Автор: Заславский А.А.

В неравнобедренном треугольнике две медианы равны двум высотам. Найдите отношение третьей медианы к третьей высоте.

ВверхВниз   Решение

Автор: Фольклор

В тетраэдре ABCD плоские углы BAD и BCD – тупые. Сравните длины ребер AC и BD.

ВверхВниз   Решение

Докажите, что прямые, заданные уравнениями y = k1x + l1 и y = k2x + l2 и не параллельные координатным осям, перпендикулярны тогда и только тогда, когда k1k2 = - 1.

ВверхВниз   Решение

Автор: Емельянов Л.А.

Пусть AA1, BB1, CC1 – высоты остроугольного треугольника ABC, OA, OB, OC – центры вписанных окружностей треугольников AB1C1, BC1A1, CA1B1 соответственно; TA, TB, TC – точки касания вписанной окружности треугольника ABC со сторонами BC, CA, AB соответственно. Докажите, что все стороны шестиугольника TAOCTBOATCOB равны.

ВверхВниз   Решение

В треугольнике ABC известны стороны BC = a, AC = b, AB = c и площадь S. Биссектрисы BL и AK пересекаются в точке O. Найдите площадь четырёхугольника CKOL.

ВверхВниз   Решение

Окружности радиусов r и R касаются внешним образом в точке A . Прямая касается этих окружностей в различных точках B и C . Найдите радиусы описанной и вписанной окружностей треугольника ABC .

ВверхВниз   Решение

Лист железа треугольной формы весит 900 г.
Доказать, что любая прямая, проходящая через его центр тяжести, делит треугольник на части, каждая из которых весит не менее 400 г.

ВверхВниз   Решение

Автор: Сергеев И.Н.

В основании A1A2...An пирамиды SA1A2...An лежит точка O, причём  SA1 = SA2 = ... = SAn  и  ∠SA1O =  ∠SA2O = ... = ∠SAnO.
При каком наименьшем значении n отсюда следует, что SO – высота пирамиды?

ВверхВниз   Решение

Дан выпуклый шестиугольник P1P2P3P4P5P6, все стороны которого равны. Каждую его вершину отразили симметрично относительно прямой, проходящей через две соседние вершины. Полученные точки обозначили через Q1, Q2, Q3, Q4, Q5 и Q6 соответственно. Докажите, что треугольники Q1Q3Q5 и Q2Q4Q6 равны.

ВверхВниз   Решение

Дан вписанный четырёхугольник ABCD, в котором  ∠ABC + ∠ABD = 90°.  На диагонали BD отмечена точка E, причём  BE = AD.  Из неё на сторону AB опущен перпендикуляр EF. Докажите, что  CD + EF < AC.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 58 59 60 61 62 63 64 >> [Всего задач: 352]      

  с решениями  

Задача 108908

Темы:   [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Перпендикуляр короче наклонной. Неравенства для прямоугольных треугольников ]
[ Вспомогательные равные треугольники ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9

Дан вписанный четырёхугольник ABCD, в котором  ∠ABC + ∠ABD = 90°.  На диагонали BD отмечена точка E, причём  BE = AD.  Из неё на сторону AB опущен перпендикуляр EF. Докажите, что  CD + EF < AC.

Прислать комментарий     Решение

Задача 108962

Темы:   [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ]
[ Неравенства для площади треугольника ]
[ Вспомогательные равные треугольники ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Лист железа треугольной формы весит 900 г.
Доказать, что любая прямая, проходящая через его центр тяжести, делит треугольник на части, каждая из которых весит не менее 400 г.

Прислать комментарий     Решение

Задача 109486

Темы:   [ Пирамида (прочее) ]
[ Теорема синусов ]
[ Равные треугольники. Признаки равенства (прочее) ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11

Автор: Сергеев И.Н.

В основании A1A2...An пирамиды SA1A2...An лежит точка O, причём  SA1 = SA2 = ... = SAn  и  ∠SA1O =  ∠SA2O = ... = ∠SAnO.
При каком наименьшем значении n отсюда следует, что SO – высота пирамиды?

Прислать комментарий     Решение

Задача 111812

Темы:   [ Свойства симметрий и осей симметрии ]
[ Шестиугольники ]
[ Равные треугольники. Признаки равенства (прочее) ]
[ Ромбы. Признаки и свойства ]
[ Сумма внутренних и внешних углов многоугольника ]
Сложность: 4-
Классы: 9

Дан выпуклый шестиугольник P1P2P3P4P5P6, все стороны которого равны. Каждую его вершину отразили симметрично относительно прямой, проходящей через две соседние вершины. Полученные точки обозначили через Q1, Q2, Q3, Q4, Q5 и Q6 соответственно. Докажите, что треугольники Q1Q3Q5 и Q2Q4Q6 равны.

Прислать комментарий     Решение

Задача 52858

Темы:   [ Вспомогательная окружность ]
[ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]
[ Вспомогательные равные треугольники ]
[ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

Автор: Васильев Н.Б.

Дан квадрат ABCD. Точки P и Q лежат на сторонах AB и BC соответственно, причём  BP = BQ.  Пусть H – основание перпендикуляра, опущенного из точки B на отрезок PC. Докажите, что угол DHQ – прямой.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 58 59 60 61 62 63 64 >> [Всего задач: 352]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .