Каталог по темам

Задачи

Страница: << 16 17 18 19 20 21 22 >> [Всего задач: 201]

Задача 78037

Темы:	[	Простые числа и их свойства	]
	[	Арифметическая прогрессия	]
	[	Деление с остатком	]
	[	Принцип Дирихле (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

p простых чисел a₁, a₂, ..., a_p образуют возрастающую арифметическую прогрессию и a₁ > p.
Доказать, что если p – простое число, то разность прогрессии делится на p.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78213

Темы:	[	Простые числа и их свойства	]
	[	Разложение на множители	]
	[	Уравнения в целых числах	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Доказать, что существует бесконечно много натуральных чисел, не представимых в виде p + n^2k ни при каких простых p и целых n и k.

Прислать комментарий

Решение

Задача 105213

Темы:	[	Простые числа и их свойства	]
	[	Системы линейных уравнений	]
	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]
	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Натуральное число n таково, что 3n + 1 и 10n + 1 являются квадратами натуральных чисел. Докажите, что число 29n + 11 – составное.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109193

Темы:	[	Простые числа и их свойства	]
	[	Арифметика остатков (прочее)	]
	[	Обыкновенные дроби	]
	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Автор: Маркелов С.В.

Пусть = , где – несократимая дробь.
Докажите, что неравенство b_n+1 < b_n выполнено для бесконечного числа натуральных n.

Прислать комментарий

Решение

Задача 115417

Темы:	[	Простые числа и их свойства	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Необычные конструкции	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Автор: Агаханов Н.Х.

Можно ли раскрасить натуральные числа в 2009 цветов так, чтобы каждый цвет встречался бесконечное число раз, и не нашлось тройки чисел, покрашенных в три различных цвета, таких, что произведение двух из них равно третьему?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 16 17 18 19 20 21 22 >> [Всего задач: 201]