ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Версия для печати
Убрать все задачи Можно ли замостить плоскость параболами, среди которых нет равных? (Требуется, чтобы каждая точка плоскости принадлежала ровно одной параболе и чтобы ни одна парабола не переводилась ни в какую другую параболу движением.) Постройте прямоугольный треугольник по катету и медиане, проведённой из вершины прямого угла. С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по трём высотам.
Два выпуклых многоугольника A1A2...An и B1B2...Bn (n ≥ 4) таковы, что каждая сторона первого больше соответствующей стороны второго. Продолжения равных хорд AB и CD окружности соответственно за
точки B и C пересекаются в точке P. Какое наибольшее число острых углов может иметь выпуклый
многоугольник?
Докажите, что в правильный пятиугольник можно так вписать квадрат, что его вершины будут лежать на четырёх сторонах пятиугольника. Концы отрезка AB принадлежат граням двугранного угла, равного ϕ . Расстояния AA1 и BB1 от точек A и B до ребра двугранного угла равны a и b соответственно, A1B1 = c . Найдите AB . Вершины A и B правильного треугольника ABC
лежат на окружности S, а вершина C — внутри этой окружности.
Точка D лежит на окружности S, причем BD = AB.
Прямая CD пересекает S в точке E. Докажите, что длина
отрезка EC равна радиусу окружности S.
На арене круглого цирка радиуса 10 метров бегает лев. Двигаясь по ломаной
линии, он пробежал 30 километров. Докажите, что любой выпуклый четырёхугольник можно разрезать на пять многоугольников, каждый из которых имеет ось симметрии.
Пусть f(x) – некоторый многочлен ненулевой степени.
В треугольнике ABC угол A наименьший. Через вершину A проведена прямая,
пересекающая отрезок BC. Она пересекает описанную окружность в точке X, а
серединные перпендикуляры к сторонам AC и AB — в точках B1 и C1.
Прямые BC1 и CB1 пересекаются в точке Y. Докажите, что BY + CY = AX.
Один угол треугольника равен 60°, а лежащая против этого угла сторона равна трети периметра треугольника. а) Докажите, что описанная окружность
треугольника ABC является окружностью девяти точек для треугольника,
образованного центрами вневписанных окружностей треугольника ABC.
Докажите, что основания высот, середины сторон и середины отрезков от ортоцентра до вершин треугольника лежат на одной окружности.
Постройте треугольник, если заданы сторона, прилежащий к ней угол и сумма двух других сторон. Докажите, что прямая, делящая пополам периметр и площадь треугольника, проходит через центр его вписанной окружности. Посередине между двумя параллельными улицами стоят в один ряд одинаковые дома со стороной, равной a. Расстояние между улицами – 3a, а расстояние между двумя соседними домами – 2a (см. рис.). Одна улица патрулируется полицейскими, которые движутся на расстоянии 9a друг от друга со скоростью v. К тому времени, как первый полицейский проходит мимо середины некоторого дома, точно напротив него на другой улице появляется гангстер. С какой постоянной скоростью и в какую сторону должен двигаться по этой улице гангстер, чтобы ни один полицейский его не заметил? Пусть
f (x, y) = x2 + y2 + a1x + b1y + c1 и
g(x, y) = x2 + y2 + a2x + b2y + c2.
Докажите, что для любого вещественного
|
Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 125]
Решите задачу 1.67, используя свойства радикальной оси.
Внутри выпуклого многоугольника расположено несколько
попарно непересекающихся кругов различных радиусов.
Докажите, что многоугольник можно разрезать на
маленькие многоугольники так, чтобы все они были выпуклыми
и в каждом из них содержался ровно один из данных кругов.
а) Докажите, что пучок окружностей полностью задаётся парой окружностей.
Пусть
f (x, y) = x2 + y2 + a1x + b1y + c1 и
g(x, y) = x2 + y2 + a2x + b2y + c2.
Докажите, что для любого вещественного
Докажите, что любая окружность пучка либо пересекает радикальную ось в двух
фиксированных точках (эллиптический пучок),
либо касается радикальной оси в фиксированной точке (параболический
пучок), либо не пересекает радикальную ось
(гиперболический пучок).
Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 125]
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|
![]() |
Проект осуществляется при поддержке