Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 23 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи

Можно ли замостить плоскость параболами, среди которых нет равных? (Требуется, чтобы каждая точка плоскости принадлежала ровно одной параболе и чтобы ни одна парабола не переводилась ни в какую другую параболу движением.)

Вниз   Решение


Постройте прямоугольный треугольник по катету и медиане, проведённой из вершины прямого угла.

ВверхВниз   Решение


С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по трём высотам.

ВверхВниз   Решение



Боковые грани треугольной пирамиды образуют равные углы с плоскостью основания. Докажите, что высота пирамиды проходит либо через центр окружности, вписанной в треугольник основания, либо через центр одной из вневписанных окружностей этого треугольника.

ВверхВниз   Решение



Каждая из боковых граней треугольной пирамиды образует с плоскостью основания угол в 60o. Стороны основания равны 10, 10, 12. Найдите объем пирамиды.

ВверхВниз   Решение


Два выпуклых многоугольника A1A2...An и B1B2...Bn  (n ≥ 4)  таковы, что каждая сторона первого больше соответствующей стороны второго.
Может ли оказаться, что каждая диагональ второго больше соответствующей диагонали первого?

ВверхВниз   Решение


Продолжения равных хорд AB и CD окружности соответственно за точки B и C пересекаются в точке P.
Докажите, что треугольники APD и BPC равнобедренные.

ВверхВниз   Решение


Какое наибольшее число острых углов может иметь выпуклый многоугольник?

ВверхВниз   Решение


Докажите, что в правильный пятиугольник можно так вписать квадрат, что его вершины будут лежать на четырёх сторонах пятиугольника.

ВверхВниз   Решение


Концы отрезка AB принадлежат граням двугранного угла, равного ϕ . Расстояния AA1 и BB1 от точек A и B до ребра двугранного угла равны a и b соответственно, A1B1 = c . Найдите AB .

ВверхВниз   Решение


Вершины A и B правильного треугольника ABC лежат на окружности S, а вершина C — внутри этой окружности. Точка D лежит на окружности S, причем BD = AB. Прямая CD пересекает S в точке E. Докажите, что длина отрезка EC равна радиусу окружности S.

ВверхВниз   Решение


На арене круглого цирка радиуса 10 метров бегает лев. Двигаясь по ломаной линии, он пробежал 30 километров.
Доказать, что сумма всех углов, на которые лев поворачивал, не меньше 2998 радиан.

ВверхВниз   Решение


Автор: Белухов Н.

Докажите, что любой выпуклый четырёхугольник можно разрезать на пять многоугольников, каждый из которых имеет ось симметрии.

ВверхВниз   Решение



Основание пирамиды - ромб с острым углом в 30o. Боковые грани наклонены к плоскости основания под углом в 60o. Найдите объем пирамиды, если радиус вписанного в ромб круга равен r.

ВверхВниз   Решение


Пусть  f(x) – некоторый многочлен ненулевой степени.
Может ли оказаться, что уравнение  f(x) = a  при любом значении a имеет чётное число решений?

ВверхВниз   Решение


В треугольнике ABC угол A наименьший. Через вершину A проведена прямая, пересекающая отрезок BC. Она пересекает описанную окружность в точке X, а серединные перпендикуляры к сторонам AC и AB — в точках B1 и C1. Прямые BC1 и CB1 пересекаются в точке Y. Докажите, что BY + CY = AX.

ВверхВниз   Решение


Один угол треугольника равен 60°, а лежащая против этого угла сторона равна трети периметра треугольника.
Докажите, что данный треугольник равносторонний.

ВверхВниз   Решение


а) Докажите, что описанная окружность треугольника ABC является окружностью девяти точек для треугольника, образованного центрами вневписанных окружностей треугольника ABC.
б) Докажите, что описанная окружность делит пополам отрезок, соединяющий центры вписанной и вневписанной окружностей.

ВверхВниз   Решение


Докажите, что основания высот, середины сторон и середины отрезков от ортоцентра до вершин треугольника лежат на одной окружности.

ВверхВниз   Решение


Постройте треугольник, если заданы сторона, прилежащий к ней угол и сумма двух других сторон.

ВверхВниз   Решение


Докажите, что прямая, делящая пополам периметр и площадь треугольника, проходит через центр его вписанной окружности.

ВверхВниз   Решение


Посередине между двумя параллельными улицами стоят в один ряд одинаковые дома со стороной, равной a. Расстояние между улицами – 3a, а расстояние между двумя соседними домами – 2a (см. рис.).

Одна улица патрулируется полицейскими, которые движутся на расстоянии 9a друг от друга со скоростью v. К тому времени, как первый полицейский проходит мимо середины некоторого дома, точно напротив него на другой улице появляется гангстер. С какой постоянной скоростью и в какую сторону должен двигаться по этой улице гангстер, чтобы ни один полицейский его не заметил?

ВверхВниз   Решение


Пусть f (x, y) = x2 + y2 + a1x + b1y + c1 и g(x, y) = x2 + y2 + a2x + b2y + c2. Докажите, что для любого вещественного $ \lambda$$ \ne$1 уравнение f - $ \lambda$g = 0 задаёт окружность из пучка окружностей, порождённого окружностями f = 0 и g = 0.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 125]      



Задача 56726

Тема:   [ Радикальная ось ]
Сложность: 5
Классы: 9

Решите задачу 1.67, используя свойства радикальной оси.
Прислать комментарий     Решение


Задача 56727

Тема:   [ Радикальная ось ]
Сложность: 5
Классы: 9

Внутри выпуклого многоугольника расположено несколько попарно непересекающихся кругов различных радиусов. Докажите, что многоугольник можно разрезать на маленькие многоугольники так, чтобы все они были выпуклыми и в каждом из них содержался ровно один из данных кругов.
Прислать комментарий     Решение


Задача 56732

Тема:   [ Радикальная ось ]
Сложность: 5
Классы: 9

а) Докажите, что пучок окружностей полностью задаётся парой окружностей.
б) Докажите, что пучок окружностей полностью задаётся одной окружностью и радикальной осью.
Прислать комментарий     Решение


Задача 56733

Тема:   [ Радикальная ось ]
Сложность: 5
Классы: 9

Пусть f (x, y) = x2 + y2 + a1x + b1y + c1 и g(x, y) = x2 + y2 + a2x + b2y + c2. Докажите, что для любого вещественного $ \lambda$$ \ne$1 уравнение f - $ \lambda$g = 0 задаёт окружность из пучка окружностей, порождённого окружностями f = 0 и g = 0.
Прислать комментарий     Решение


Задача 56734

Тема:   [ Радикальная ось ]
Сложность: 5
Классы: 9

Докажите, что любая окружность пучка либо пересекает радикальную ось в двух фиксированных точках (эллиптический пучок), либо касается радикальной оси в фиксированной точке (параболический пучок), либо не пересекает радикальную ось (гиперболический пучок).

Прислать комментарий     Решение


Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 125]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .