Версия для печати
Убрать все задачи

---

Прямые, касающиеся окружности с центром O в точках A и B, пересекаются в точке M. Найдите хорду AB, если отрезок MO делится ею на отрезки, равные 2 и 18.

   Решение

---

Точка внутри выпуклого четырёхугольника соединена с вершинами. Получились четыре равных треугольника.
Верно ли, что четырёхугольник – ромб?

   Решение

---

Три простых числа p, q и r, большие 3, образуют арифметическую прогрессию:  q = p + d,  r = p + 2d.  Докажите, что d делится на 6.

   Решение

---

а) Из какого минимального числа кусков проволоки можно спаять каркас куба?
б) Какой максимальной длины кусок проволоки можно вырезать из этого каркаса? (Длина ребра куба равна 1 см.)

   Решение

---

Точка M делит сторону BC треугольника ABC в отношении BM : MC = 2 : 5, Известно, что = , = . Найдите вектор .

   Решение

---

Решите уравнение

   Решение

---

В хоккейном турнире принимают участие n команд. Каждая команда встречается с каждой по одному разу, при этом выигравшей команде присуждается 2 очка, сыгравшей вничью – 1, проигравшей – 0 очков. Какой максимальный разрыв в очках может быть между командами, занявшими соседние места?

   Решение

---

Найдите все натуральные числа, делящиеся на 30 и имеющие ровно 30 различных делителей.

   Решение

---

α, β и γ - углы треугольника ABC. Докажите, что
а)  cos(/2)sin(/2)sin(/2) = (p - a)/4R;
б)  sin(/2)cos(/2)cos(/2) = r_a/4R.

   Решение

---

Группа восьмиклассников решила поехать во время каникул на экскурсию в Углич. Ежемесячно каждый ученик вносил определённое количество рублей (без копеек), одинаковое для всех, и в течение пяти месяцев было собрано 49685 руб. Сколько было в группе учеников и какую сумму внёс каждый?

   Решение

---

  Одноклассники Аня, Боря и Вася живут на одной лестничной клетке. В школу они идут с постоянными, но различными скоростями, не оглядываясь и не дожидаясь друг друга. Но если кто-то из них успевает догнать другого, то дальше он замедляется, чтобы идти вместе с тем, кого догнал.
  Однажды первой вышла Аня, вторым Боря, третьим Вася, и какие-то двое из них пришли в школу вместе. На следующий день первым вышел Вася, вторым Боря, третьей Аня. Могут ли все трое прийти в школу вместе?

   Решение

---

Докажите, что h_a = bc/2R.

   Решение

---

На сколько нулей оканчивается число 100!?

   Решение

---

В левом нижнем углу клетчатой доски n×n стоит конь. Известно, что наименьшее число ходов, за которое конь может дойти до правого верхнего угла, равно наименьшему числу ходов, за которое он может дойти до правого нижнего угла. Найдите n.

   Решение

---

К окружности проведены касательные, касающиеся её в концах диаметра AB. Произвольная касательная к окружности пересекает эти касательные в точках K и M. Докажите, что произведение AK ^. BM постоянно.

   Решение

---

(sin x, sin y, sin z)  – возрастающая арифметическая прогрессия. Может ли последовательность  (cos x, cos y, cos z)  также являться арифметической прогрессией?

   Решение

---

30 человек голосуют по пяти предложениям. Сколькими способами могут распределиться голоса, если каждый голосует только за одно предложение и учитывается лишь количество голосов, поданных за каждое предложение?

   Решение

---

Из первых k простых чисел  2, 3, 5, ..., p_k  (k > 5)  составлены всевозможные произведения, в которые каждое из чисел входит не более одного раза (например,  3·5, 3·7·... ·p_k, 11  и т. д.). Обозначим сумму всех таких чисел через S. Доказать, что  S + 1  разлагается в произведение более 2k простых сомножителей.

   Решение

---

В параллелограмме лежат две окружности, касающиеся друг друга и трёх сторон параллелограмма каждая. Радиус одной из окружностей равен 1. Известно, что один из отрезков стороны параллелограмма от вершины до точки касания равен . Найдите площадь параллелограмма.

   Решение

---

Даны две непостоянные прогрессии (a_n) и (b_n), одна из которых арифметическая, а другая – геометрическая. Известно, что  a₁ = b₁,  a₂ : b₂ = 2  и
a₄ : b₄ = 8.  Чему может быть равно отношение  a₃ : b₃?

   Решение

---

В таблице
    0 1 2 3 ... 9
    9 0 1 2 ... 8
    8 9 0 1 ... 7
        ...
    1 2 3 4 ... 0
отмечено 10 элементов так, что в каждой строке и каждом столбце отмечен один элемент.
Докажите, что среди отмеченных элементов есть хотя бы два равных.

   Решение

---

Пять моряков высадились на остров и к вечеру набрали кучу кокосовых орехов. Дележ отложили на утро. Один из них, проснувшись ночью, угостил одним орехом мартышку, а из остальных орехов взял себе точно пятую часть, после чего лёг спать и быстро уснул. За ночь так же поступили один за другим и остальные моряки; при этом каждый не знал о действиях предшественников. На утро они поделили оставшиеся орехи поровну, но для мартышки в этот раз лишнего ореха не осталось. Каким могло быть наименьшее число орехов в собранной куче?

   Решение

Страница: << 105 106 107 108 109 110 111 >> [Всего задач: 1119]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 32085

Темы:   [ Задачи на движение ] [ Центральная симметрия помогает решить задачу ] [ Ломаные внутри квадрата ] [ Теория игр (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

В центре квадратного пруда плавает ученик. Внезапно к вершине квадрата подошёл учитель. Учитель не умеет плавать, но бегает в 4 раза быстрее, чем ученик плавает. Ученик бегает быстрее. Сможет ли он убежать?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 32839

Тема:   [ Задачи на движение ]

Сложность: 4- Классы: 7,8,9

Из посёлка Морозки ведет прямая дорога, в стороне от неё, на поле, расположена водокачка. Путнику нужно попасть из Морозок к водокачке. По дороге путник идет со скоростью 4 км/ч, а по полю – 3 км/ч. Как ему следует выбрать маршрут, чтобы дойти быстрее всего?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 35499

Темы:   [ Турниры и турнирные таблицы ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Принцип Дирихле (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

В хоккейном турнире принимают участие n команд. Каждая команда встречается с каждой по одному разу, при этом выигравшей команде присуждается 2 очка, сыгравшей вничью – 1, проигравшей – 0 очков. Какой максимальный разрыв в очках может быть между командами, занявшими соседние места?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 35516

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Замощения костями домино и плитками ] [ Линейные неравенства и системы неравенств ]

Сложность: 4- Классы: 9,10

В каждой клетке таблицы 9×9 записано число, по модулю меньшее 1. Известно, что сумма чисел в каждом квадратике 2×2 равна 0.
Докажите, что сумма чисел в таблице меньше 9.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61481

Темы:   [ Текстовые задачи (прочее) ] [ Итерации ] [ Делимость чисел. Общие свойства ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Пять моряков высадились на остров и к вечеру набрали кучу кокосовых орехов. Дележ отложили на утро. Один из них, проснувшись ночью, угостил одним орехом мартышку, а из остальных орехов взял себе точно пятую часть, после чего лёг спать и быстро уснул. За ночь так же поступили один за другим и остальные моряки; при этом каждый не знал о действиях предшественников. На утро они поделили оставшиеся орехи поровну, но для мартышки в этот раз лишнего ореха не осталось. Каким могло быть наименьшее число орехов в собранной куче?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 105 106 107 108 109 110 111 >> [Всего задач: 1119]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями