Каталог по темам

Задачи

Страница: << 106 107 108 109 110 111 112 >> [Всего задач: 1007]

Задача 61509

Темы:	[	Раскладки и разбиения	]
Темы:	[	Производящие функции	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Пусть p(n) – количество разбиений числа n (определение разбиений смотри здесь). Докажите равенства:

p(0) + p(1)x + p(2)x '' + ... = (1 + x + x² + ...)...(1 + x^k + x^2k + ...)... = (1 – x)^–1(1 – x²)^–1(1 – x³)^–1...

(По определению считается, что p(0) = 1.)

Прислать комментарий

Решение

Задача 61512

Темы:	[	Раскладки и разбиения	]
	[	Производящие функции	]
	[	Мощность множества. Взаимно-однозначные отображения	]
	[	Формулы сокращенного умножения (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Обозначим через d(n) количество разбиений числа n на различные слагаемые, а через l(n) – на нечётные. Докажите равенства:

а) d(0) + d(1)x + d(2)x² + ... = (1 + x)(1 + x²)(1 + x³)...;

б) l(0) + l(1)x + l(2)x² + ... = (1 – x)^–1(1 – x³)^–1(1 – x⁵)^–1...;

в) d(n) = l(n) (n = 0, 1, 2, ...).

(Считается по определению, что d(0) = l(0) = 1.)

Прислать комментарий

Решение

Задача 61523

Темы:	[	Многочлены Гаусса	]
Темы:	[	Треугольник Паскаля и бином Ньютона	]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

а) Определение (смотри в справочнике) функций g_k,l(x) не позволяет вычислять их значения при x = 1. Но, поскольку функции g_k,l(x) являются многочленами, они определены и при x = 1. Докажите равенство

б) Какие свойства биномиальных коэффициентов получаются, если в свойства б) – г) из задачи 61522 подставить значение x = 1?

Прислать комментарий

Решение

Задача 64314

Темы:	[	Турниры и турнирные таблицы	]
	[	Степень вершины	]
	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 3+
Классы: 6,7

Автор: Женодаров Р.Г.

В шахматном турнире каждый из восьми участников сыграл с каждым. В случае ничьей (и только в этом случае) партия ровно один раз переигрывалась и результат переигровки заносился в таблицу. Барон Мюнхгаузен утверждает, что в итоге два участника турнира сыграли по 11 партий, один – 10 партий, три – по 8 партий и два – по 7 партий. Может ли он оказаться прав?

Прислать комментарий

Решение

Задача 64511

Темы:	[	Десятичная система счисления	]
	[	Раскладки и разбиения	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Автор: Замятин В.

Володя хочет сделать набор кубиков одного размера и написать на каждой грани каждого кубика по одной цифре так, чтобы можно было из этих кубиков выложить любое 30-значное число. Какого наименьшего количества кубиков ему для этого хватит? (Цифры 6 и 9 при переворачивании не превращаются друг в друга.)

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 106 107 108 109 110 111 112 >> [Всего задач: 1007]