Processing math: 100%
ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Тема: Все темы >> Геометрия >> Планиметрия >> Окружности >> Вписанный угол >> Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрана 21 задача
Версия для печати
Убрать все задачи

Автор: Белухов Н.

Даны выпуклый многоугольник M и простое число p. Оказалось, что существует ровно p способов разбить M на равносторонние треугольники со стороной 1 и квадраты со стороной 1.
Докажите, что длина одной из сторон многоугольника M равна  p – 1.

Вниз   Решение

В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) биссектрисы BD и AF пересекаются в точке O. Отношение площади треугольника DOA к площади треугольника BOF равно $ {\frac{3}{8}}$. Найдите отношение $ {\frac{AC}{AB}}$.

ВверхВниз   Решение

В правильной треугольной пирамиде SABC ( S – вершина, SA = 2 ) точка D – середина ребра SB . Расстояние от точки C до прямой AD равно . Найдите объём пирамиды. Дана сфера радиуса с центром в точке C . Рассматриваются всевозможные правильные тетраэдры MNPQ такие, что точки P и Q лежат на прямой AD , а прямая MN касается сферы в одной из точек отрезка MN . Найдите наименьшее значение длины ребра рассматриваемых тетраэдров.

ВверхВниз   Решение

В окружности проведены хорды AB и BC, причём AB = $ \sqrt{3}$, BC = 3$ \sqrt{3}$, $ \angle$ABC = 60o. Найдите длину той хорды окружности, которая делит угол ABC пополам.

ВверхВниз   Решение

По стороне правильного треугольника катится окружность радиуса, равного его высоте. Докажите, что угловая величина дуги, высекаемой на окружности сторонами треугольника, всегда равна 600.

ВверхВниз   Решение

Тройки чисел (xn, yn, zn) (n $ \geqslant$ 1) строятся по правилу: x1 = 2, y1 = 4, z1 = 6/7,

xn + 1 = $\displaystyle {\frac{2x_n}{x_n^2-1}}$,    yn + 1 = $\displaystyle {\frac{2y_n}{y_n^2-1}}$,    zn + 1 = $\displaystyle {\frac{2z_n}{z_n^2-1}}$,    (n $\displaystyle \geqslant$ 1).


а) Докажите, что указанный процесс построения троек может быть неограниченно продолжен.
б) Может ли на некотором шаге получится тройка чисел (xn, yn, zn), для которой xn + yn + zn = 0?

ВверхВниз   Решение

Найдите двузначное число, которое вдвое больше произведения своих цифр.

ВверхВниз   Решение

Пусть H — точка пересечения высот треугольника ABC. Докажите, что треугольник с вершинами в центрах описанных окружностей треугольников BHC, AHC и AHB равен треугольнику ABC.

ВверхВниз   Решение

С помощью циркуля и линейки впишите в данный треугольник равнобедренный треугольник данной высоты так, чтобы основание его было параллельно одной из сторон данного треугольника.

ВверхВниз   Решение

Окружность радиуса R, построенная на большем основании AD трапеции ABCD как на диаметре, касается меньшего основания BC в точке C, а боковой стороны AB — в точке A. Найдите диагонали трапеции.

ВверхВниз   Решение

В прямоугольном треугольнике медианы, проведённые из вершин острых углов, равны   и  .  Найдите гипотенузу треугольника.

ВверхВниз   Решение

Автор: Ясиновый Э.А.

Обозначим через Tk(n) сумму произведений по k чисел от 1 до n. Например,    T2(4) = 1·2 + 1·3 + 1·4 + 2·3 + 2·4 + 3·4.
   а) Найдите формулы для T2(n) и T3(n).
   б) Докажите, что Tk(n) является многочленом от n степени 2k.
   в) Укажите метод нахождения многочленов Tk(n) при  k = 2, 3, 4, ...  и примените его для отыскания многочленов T4(n) и T5(n).

ВверхВниз   Решение

Чему равно выражение (102+112+122+132+142)/365 ?

ВверхВниз   Решение

Автор: Кожевников П.А.

Выпуклый пятиугольник ABCDE таков, что  AB || CD,  BC || AD,  AC || DE,  CE ⊥ BC.  Докажите, что EC – биссектриса угла BED.

ВверхВниз   Решение

Незнайка взял у Пилюлькина книжку и сосчитал, сколько понадобилось цифр, чтобы пронумеровать все страницы, начиная с первой. У него получилось 100 цифр. Могло ли так быть, или Незнайка ошибся? Если могло, скажите, сколько было страниц.

ВверхВниз   Решение

Предположим, что цепные дроби   сходятся. Согласно задаче 61330, они будут сходиться к корням многочлена  x² – px + q = 0.  С другой стороны к тем же корням будут сходиться и последовательности, построенные по методу Ньютона (см. задачу 61328):   xn+1 = xn – = .  Докажите, что если x0 совпадает с нулевой подходящей дробью цепной дроби α или β, то числа x1, x2, ... также будут совпадать с подходящими дробями к α или β.

ВверхВниз   Решение

В треугольнике ABC медиана BD равна половине стороны AC. Найдите угол B треугольника.

ВверхВниз   Решение

Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и проекции одного из катетов на гипотенузу.

ВверхВниз   Решение

На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты точки A1, B1 и C1, причем  AC1 = AB1, BA1 = BC1 и CA1 = CB1. Докажите, что A1, B1 и C1 — точки касания вписанной окружности со сторонами.

ВверхВниз   Решение

Сколько сторон может иметь выпуклый многоугольник, у которого сумма тупых углов равна 3000°?

ВверхВниз   Решение

Автор: Мостовой А.

В остроугольном треугольнике ABC (AC>AB ) провели биссектрису AK и медиану AT, последнюю продлили до пересечения с описанной окружностью треугольника в точке D. Точка F симметрична K относительно T. Даны углы треугольника ABC, найдите угол FDA.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 501]      

  с решениями  

Задача 116169

Темы:   [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Прямые, касающиеся окружностей (прочее) ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Угол между касательной и хордой ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Автор: Фольклор

Пусть I – центр окружности, вписанной в треугольник ABC. Oкружность, описанная около треугольника BIC, пересекает прямые AB и AC в точках E и F соответственно. Докажите, что прямая EF касается окружности, вписанной в треугольник ABC.

Прислать комментарий     Решение

Задача 66814

Темы:   [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Автор: Мостовой А.

В остроугольном треугольнике ABC (AC>AB ) провели биссектрису AK и медиану AT, последнюю продлили до пересечения с описанной окружностью треугольника в точке D. Точка F симметрична K относительно T. Даны углы треугольника ABC, найдите угол FDA.
Прислать комментарий     Решение

Задача 67100

Темы:   [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Михайлов И.

Прямая ℓ, параллельная стороне BC треугольника ABC, касается его вписанной окружности и пересекает его описанную окружность в точках D и E. Пусть I – центр вписанной окружности треугольника ABC. Докажите, что AI2=AD⋅AE.
Прислать комментарий     Решение

Задача 52372

Темы:   [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Конкуррентность высот. Углы между высотами. ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Продолжения высот остроугольного треугольника ABC пересекают описанную окружность в точках A1, B1 и C1 соответственно. Докажите, что биссектрисы треугольника A1B1C1 лежат на прямых AA1, BB1, CC1.

Прислать комментарий     Решение

Задача 53057

Темы:   [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Четыре точки окружности следуют в порядке: A, B, C, D. Продолжение хорды AB за точку B и хорды CD за точку C пересекаются в точке E, причём угол AED равен 60o. Угол ABD в три раза больше угла BAC. Докажите, что AD — диаметр окружности.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 501]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .