Все источники
>>
Олимпиады и турниры
>>
Московская устная олимпиада по геометрии
>>
10 (2012 год)
>>
10-11 класс
Фильтр
Выбрано 24 задачи Убрать все задачи
а) Аборигены поймали Кука и просят за его выкуп ровно 455 рупий 50 монетами. Смогут ли соратники Кука выкупить его на таких условиях, если в тех краях имеют хождение только монеты в 5, 17 и 31 рупии?
б) А если бы аборигены хотели получить сумму в 910 рупий 50 монетами
по 10, 34 и 62 рупии?
Петя и Витя ехали вниз по эскалатору. Посередине эскалатора хулиган Витя сорвал с Пети шапку и бросил её на встречный эскалатор. Пострадавший Петя побежал обратно вверх по эскалатору, чтобы затем спуститься вниз и вернуть шапку. Хитрый Витя побежал по эскалатору вниз, чтобы затем подняться вверх и успеть раньше Пети. Кто успеет раньше, если скорости ребят относительно эскалатора постоянны и не зависят от направления движения?
Существуют ли такие n-значные числа M и N, что все цифры M – чётные, все цифры N – нечётные, каждая цифра от 0 до 9 встречается в десятичной записи M или N хотя бы один раз и M делится на N?
Фигура на рисунке составлена из квадратов. Найдите сторону левого нижнего, если сторона самого маленького равна 1.
В трапеции ABCD стороны AD и BC параллельны, и AB = BC = BD. Высота BK пересекает диагональ AC в точке M. Найдите ∠CDM.
Расставьте скобки так, чтобы получилось верное равенство:
Числа от 1 до 9 разместите в кружках фигуры (см. рис.) так, чтобы сумма четырёх чисел, находящихся в кружках-вершинах всех квадратов (их шесть), была постоянной.
В стране n городов. Между каждыми двумя из них проложена либо автомобильная, либо железная дорога. Турист хочет объехать страну, побывав в каждом городе ровно один раз, и вернуться в город, с которого он начинал путешествие. Докажите, что турист может выбрать город, с которого он начнет путешествие, и маршрут так, что ему придётся поменять вид транспорта не более одного раза.
Разрежьте фигуру (по границам клеток) на три равные (одинаковые по форме и величине) части.
В параллелограмме ABCD точки M и N – середины сторон BC и CD соответственно. Могут ли лучи AM и AN делить угол BAD на три равные части?
На прямой через равные промежутки поставили десять точек, и они заняли отрезок длины a. На другой прямой через такие же промежутки поставили 100 точек, и они заняли отрезок длины b. Во сколько раз b больше a?
Докажите, что числа от 1 до 15 нельзя разбить на две группы: A из двух чисел и B из 13 чисел так, чтобы сумма чисел в группе B была равна произведению чисел в группе A.
В выпуклом пятиугольнике ABCDE: ∠A = ∠C = 90°, AB = AE, BC = CD, AC = 1. Найдите площадь пятиугольника.
К натуральному числу A приписали справа три цифры. Получившееся число оказалось равным сумме всех натуральных чисел от 1 до A . Найдите A .
Отец с двумя сыновьями отправились навестить бабушку, которая живёт в 33 км от города. У отца есть мотороллер, скорость которого 25 км/ч, а с пассажиром – 20 км/ч (двух пассажиров на мотороллере перевозить нельзя). Каждый из братьев идёт по дороге со скоростью 5 км/ч. Докажите, что все трое могут добраться до бабушки за 3 часа.
a) Придумайте три правильные несократимые дроби, сумма которых – целое число, а если каждую из этих дробей "перевернуть" (то есть заменить на
обратную), то сумма полученных дробей тоже будет целым числом.
б) То же, но числители дробей – не равные друг другу натуральные числа.
Верно ли, что центр вписанной окружности треугольника лежит внутри треугольника, образованного средними линиями данного?
Кузнечик прыгает вдоль прямой вперёд на 80 см или назад на 50 см. Может ли он менее чем за 7 прыжков удалиться от начальной точки ровно на 1 м 70 см?
Дан равносторонний треугольник ABC и прямая l, проходящая через его центр. Точки пересечения этой прямой со сторонами AB и BC отразили относительно середин этих сторон соответственно. Докажите, что прямая, проходящая через получившиеся точки, касается вписанной окружности треугольника ABC.
Натуральное число умножили последовательно на каждую из его цифр. Получилось 1995. Найдите исходное число.
Существуют ли 10 таких различных целых чисел, что все суммы, составленные из девяти из них – точные квадраты?
В корзине лежат 30 грибов – рыжиков и груздей. Известно, что среди любых 12 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 20 грибов – хотя бы один груздь. Сколько рыжиков и сколько груздей в корзине?
В треугольнике ABC точка I – центр вписанной окружности, точки IA, IC – центры вневписанных окружностей, касающихся сторон BC и AB соответственно. Точка O – центр описанной окружности треугольника IIAIC. Докажите, что OI ⊥ AC.
Внутри окружности с центром O отмечены точки A и B так, что OA = OB.
Постройте на окружности точку M, для которой сумма расстояний до точек A и B наименьшая среди всех возможных.
Задачи Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]
Задача 116749 (#1) |
|
|
Верно ли, что центр вписанной окружности треугольника лежит внутри треугольника, образованного средними линиями данного?
|
|
Решение |
Задача 116750 (#2) |
|
В выпуклом пятиугольнике ABCDE: ∠A = ∠C = 90°, AB = AE, BC = CD, AC = 1. Найдите площадь пятиугольника.
|
|
|
Решение |
Задача 116751 (#3) |
|
|
H – точка пересечения высот AA' и BB' остроугольного треугольника ABC. Прямая, перпендикулярная AB, пересекает эти высоты в точках D и E, а сторону AB – в точке P. Докажите, что ортоцентр треугольника DEH лежит на отрезке CP.
|
|
Решение |
Задача 116752 (#4) |
|
|
Внутри выпуклого многогранника выбрана точка P и несколько прямых l1, ..., ln, проходящих через P и не лежащих в одной плоскости. Каждой грани многогранника поставим в соответствие ту из прямых l1, ..., ln, которая образует наибольший угол с плоскостью этой грани (если таких прямых несколько, выберем любую из них). Докажите, что найдётся грань, которая пересекается с соответствующей ей прямой.
|
|
|
Решение |
Задача 116753 (#5) |
|
|
Внутри окружности с центром O отмечены точки A и B так, что OA = OB.
Постройте на окружности точку M, для которой сумма расстояний до точек A и B наименьшая среди всех возможных.
|
|
|
Решение |
Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]
