Версия для печати
Убрать все задачи

---

Докажите, что площадь треугольника, стороны которого равны медианам треугольника площади S, равна 3S/4.

   Решение

---

Решите уравнение  a² + b² + c² + d² – ab – bc – cd – d + ²/₅ = 0.

   Решение

---

Два автобуса ехали навстречу друг другу с постоянными скоростями. Первый выехал из Москвы в 11 часов утра и прибыл в Ярославль в 16 часов, а второй выехал из Ярославля в 12 часов и прибыл в Москву в 17 часов. В котором часу они встретились?

   Решение

---

В треугольнике ABC точки М и N – середины сторон АС и АВ соответственно. На медиане ВМ выбрана точка Р, не лежащая на CN. Оказалось, что
PC = 2PN.  Докажите, что  АР = ВС.

   Решение

---

а) Докажите, что производящая функция последовательности чисел Фибоначчи   F(x) = F₀ + F₁x + F₂x² + ... + F_nxⁿ + ...

может быть записана в виде     где   = ,  = .

б) Пользуясь результатом задачи 61490, получите формулу Бине (см. задачу 60578.

   Решение

---

Вычислите производящие функции следующих последовательностей:

а) an = n;    б) an = n2;    в) an = Cmn.

   Решение

---

Докажите, что степень точки P относительно окружности S равна d² - R², где R — радиус S, d — расстояние от точки P до центра S.

   Решение

---

Функции a, b и c заданы рядами

   

   

   

Докажите, что   a³ + b³ + c³ – 3abc = (1 + x³)ⁿ.

   Решение

---

Четырехугольник $ABCD$ без равных и без параллельных сторон описан около окружности с центром $I$. Точки $K$, $L$, $M$ и $N$ – середины сторон $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$. Известно, что $AB\cdot CD=4IK\cdot IM$. Докажите, что $BC\cdot AD=4IL\cdot IN$.

   Решение

---

Через некоторую точку, взятую внутри треугольника, проведены три прямые, параллельные сторонам. Эти прямые разбивают треугольник на шесть частей, три из которых – треугольники с площадями S₁, S₂, S₃. Найдите площадь S данного треугольника.

   Решение

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 1956]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 54972  (#01.035)

Темы:   [ Отношения линейных элементов подобных треугольников ] [ Признаки и свойства параллелограмма ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Через некоторую точку, взятую внутри треугольника, проведены три прямые, параллельные сторонам. Эти прямые разбивают треугольник на шесть частей, три из которых – треугольники с площадями S₁, S₂, S₃. Найдите площадь S данного треугольника.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 56492  (#01.036)

Темы:   [ Медиана делит площадь пополам ] [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Отношение площадей подобных треугольников ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Докажите, что площадь треугольника, стороны которого равны медианам треугольника площади S, равна 3S/4.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 56493  (#01.037)

Темы:   [ Параллелограмм Вариньона ] [ Отношение площадей подобных треугольников ] [ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

а) Докажите, что площадь четырехугольника, образованного серединами сторон выпуклого четырехугольника ABCD, равна половине площади ABCD.
б) Докажите, что если диагонали выпуклого четырехугольника равны, то его площадь равна произведению длин отрезков, соединяющих середины противоположных сторон.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 56494  (#01.038)

Темы:   [ Отношение площадей подобных треугольников ] [ Свойства симметрии и центра симметрии ] [ Параллелограмм Вариньона ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Точка O, лежащая внутри выпуклого четырёхугольника площади S, отражается симметрично относительно середин его сторон.
Найдите площадь четырёхугольника с вершинами в полученных точках.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 53358  (#01.039)

Темы:   [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Признаки равенства прямоугольных треугольников ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Сторона AD прямоугольника ABCD в три раза больше стороны AB. Точки M и N делят AD на три равные части. Найдите  ∠AMB + ∠ANB + ∠ADB.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 1956]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями