Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все источники >> Книги, журналы >> Прасолов В.В., Задачи по планиметрии >> глава 3. Окружности
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 16 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

При каких a и b многочлен  P(x) = (a + b)x5 + abx² + 1  делится на  x² – 3x + 2?

Вниз   Решение

Автор: Егоров А.А.

На координатной плоскости xOy построена парабола  y = x².  Затем начало координат и оси стёрли.
Как их восстановить с помощью циркуля и линейки (используя имеющуюся параболу)?

ВверхВниз   Решение

Внутри выпуклой фигуры с площадью S и полупериметром p лежит n узлов решетки. Докажите, что n > S - p.

ВверхВниз   Решение

Докажите неравенство   ≥ ,   где x1, ..., xn – положительные числа.

ВверхВниз   Решение

На стороне BC треугольника ABC взята точка D. Окружность S1 касается отрезков BE и EA и описанной окружности, окружность S2 касается отрезков CE и EA и описанной окружности. Пусть I, I1, I2 и r, r1, r2 -- центры и радиусы вписанной окружности и окружностей S1, S2; $ \varphi$ = $ \angle$ADB. Докажите, что точка I лежит на отрезке I1I2, причём I1I : II2 = tg2$ {\frac{\varphi }{2}}$. Докажите также, что r = r1cos2$ {\frac{\varphi }{2}}$ + r2sin2$ {\frac{\varphi }{2}}$ (Тебо).

ВверхВниз   Решение

Автор: Рубанов И.С.

На доске написано число 1. Если на доске написано число а, его можно заменить любым числом вида  a + d,  где d взаимно просто с а и  10 ≤ d ≤ 20.
Можно ли через несколько таких операций получить на доске число 18! ?

ВверхВниз   Решение

Докажите, что при  a, b, c > 0  имеет место неравенство  

ВверхВниз   Решение

Автор: Канель-Белов А.Я.

Играют двое, ходят по очереди. Первый ставит на плоскости красную точку, второй в ответ ставит на свободные места 10 синих точек. Затем опять первый ставит на свободное место красную точку, второй ставит на свободные места 10 синих, и т.д. Первый считается выигравшим, если какие-то три красные точки образуют правильный треугольник. Может ли второй ему помешать?

ВверхВниз   Решение

Из утверждений "число a делится на 2", "число a делится на 4", "число a делится на 12" и "число a делится на 24" три верных, а одно неверное. Какое?

ВверхВниз   Решение

а) Какое наибольшее число рёбер может быть в 30-вершинном графе, в котором нет треугольников?
б) Какое наибольшее число рёбер может быть в 30-вершинном графе, в котором нет полного подграфа из четырёх вершин?

ВверхВниз   Решение

Существует ли такое x, что    ?

ВверхВниз   Решение

Пусть (1 + $ \sqrt{2}$ + $ \sqrt{3}$)n = pn + qn$ \sqrt{2}$ + rn$ \sqrt{3}$ + sn$ \sqrt{6}$ (n $ \geqslant$ 0). Найдите:

а) $ \lim\limits_{n\to \infty}^{}$$ {\dfrac{p_n}{q_n}}$;     б) $ \lim\limits_{n\to \infty}^{}$$ {\dfrac{p_n}{r_n}}$;     в) $ \lim\limits_{n\to \infty}^{}$$ {\dfrac{p_n}{s_n}}$.

ВверхВниз   Решение

Автор: Емельянова Т.

Можно ли вместо звёздочек вставить в выражение  НОК(*, *, *) – НОК(*, *, *) = 2009  в некотором порядке шесть последовательных натуральных чисел так, чтобы равенство стало верным?

ВверхВниз   Решение

Известно, что  a + b + c = 5  и  ab + bc + ac = 5.  Чему может равняться  a² + b² + c²?

ВверхВниз   Решение

Пусть AKL и AMN — подобные равнобедренные треугольники с вершиной A и углом $ \alpha$ при вершине; GNK и G'LM — подобные равнобедренные треугольники с углом $ \pi$ - $ \alpha$ при вершине. Докажите, что G = G'. (Треугольники ориентированные.)

ВверхВниз   Решение

На плоскости даны три попарно пересекающиеся окружности. Через точки пересечения каждых двух из них проведена прямая.
Докажите, что эти три прямые пересекаются в одной точке или параллельны.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 10 11 12 13 14 15 16 >> [Всего задач: 86]      

  с решениями  

Задача 56713  (#03.053B)

Тема:   [ Радикальная ось ]
Сложность: 3
Классы: 9

Окружность задана уравнением f (x, y) = 0, где f (x, y) = x2 + y2 + ax + by + c. Докажите, что степень точки (x0, y0) относительно этой окружности равна f (x0, y0).
Прислать комментарий     Решение

Задача 56714  (#03.053)

Темы:   [ Радикальная ось ]
[ Метод координат на плоскости ]
Сложность: 5
Классы: 8,9,10

На плоскости даны две неконцентрические окружности S1 и S2. Докажите, что геометрическим местом точек, для которых степень относительно S1 равна степени относительно S2, является прямая.



Прислать комментарий     Решение

Задача 56715  (#03.054)

Тема:   [ Радикальная ось ]
Сложность: 5
Классы: 9

Докажите, что радикальная ось двух пересекающихся окружностей проходит через точки их пересечения.
Прислать комментарий     Решение

Задача 56716  (#03.055)

Тема:   [ Радикальная ось ]
Сложность: 5
Классы: 9

На плоскости даны три окружности, центры которых не лежат на одной прямой. Проведем радикальные оси для каждой пары этих окружностей. Докажите, что все три радикальные оси пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий     Решение

Задача 56717  (#03.056)

Темы:   [ Радикальная ось ]
[ Пересекающиеся окружности ]
[ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]
[ Выход в пространство ]
Сложность: 4-
Классы: 9

На плоскости даны три попарно пересекающиеся окружности. Через точки пересечения каждых двух из них проведена прямая.
Докажите, что эти три прямые пересекаются в одной точке или параллельны.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 10 11 12 13 14 15 16 >> [Всего задач: 86]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .