Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все источники >> Олимпиады и турниры >> Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина >> VI Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2010 г.)
Классы:
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 23 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи

Решить в целых числах уравнение  x² = 14 + y².

Вниз   Решение

а) Сколькими способами можно разбить 15 человек на три команды по пять человек в каждой?
б) Сколькими способами можно выбрать из 15 человек две команды по пять человек в каждой?

ВверхВниз   Решение

Может ли сумма цифр точного квадрата равняться 1970?

ВверхВниз   Решение

Автор: Tran Quang Hung

Дан треугольник ABC и точка P. Точки A', B', C' – проекции P на прямые BC, CA, AB. Прямая, проходящая через P и параллельная AB, вторично пересекает описанную окружность треугольника PA'B' в точке C1. Точки A1, B1 определены аналогично. Докажите, что
  а) прямые AA1, BB1, CC1 пересекаются в одной точке;
  б) треугольники ABC и A1B1C1 подобны.

ВверхВниз   Решение

Пусть p и q – различные простые числа. Докажите, что
  а)  pq + qp ≡ p + q (mod pq);

  б)   – чётное число, если  p, q ≠ 2.

ВверхВниз   Решение

Пусть P(xn) делится на  x – 1.  Докажите, что P(xn) делится на  xn – 1.

ВверхВниз   Решение

Найдите наименьшее число, записываемое одними единицами, делящееся на (в записи 100 троек).

ВверхВниз   Решение

Решить в целых числах уравнение  x² + y² = 4z – 1.

ВверхВниз   Решение

а) Дано шестизначное число  abcdef,  причём  abc + def  делится на 37. Докажите, что и само число делится на 37.
б) Сформулируйте и докажите признак делимости на 37.

ВверхВниз   Решение

Автор: Заславский А.А.

Даны точки A, B. Найдите геометрическое место таких точек C, что C, середины отрезков AC, BC и точка пересечения медиан треугольника ABC лежат на одной окружности.

ВверхВниз   Решение

С помощью двусторонней линейки постройте центр данной окружности, диаметр которой больше ширины линейки.

ВверхВниз   Решение

Найдите наименьшее натуральное число, делящееся на 36, в записи которого встречаются все 10 цифр.

ВверхВниз   Решение

Доказать, что можно расставить в вершинах правильного n-угольника действительные числа x1, x2, ..., xn, все отличные от 0, так, чтобы для любого правильного k-угольника, все вершины которого являются вершинами исходного n-угольника, сумма чисел, стоящих в его вершинах, равнялась 0.

ВверхВниз   Решение

Докажите, что квадрат можно разрезать на n квадратов для любого n, начиная с шести.

ВверхВниз   Решение

Даны две параллельные прямые и отрезок, лежащий на одной из них. Удвойте этот отрезок с помощью одной линейки.

ВверхВниз   Решение

Сколькими способами можно расселить 15 гостей в четырёх комнатах, если требуется, чтобы ни одна из комнат не осталась пустой?

ВверхВниз   Решение

Докажите, что число  30239 + 23930  составное.

ВверхВниз   Решение

Докажите, что в правильном тридцатиугольнике A1...A30 следующие тройки диагоналей:
  а) A1A7, A2A9, A4A23;
  б) A1A7, A2A15, A4A29;
  в) A1A13, A2A15, A10A29
пересекаются в одной точке.

ВверхВниз   Решение

Из стакана молока три ложки содержимого переливают в стакан с чаем и небрежно помешивают. Затем зачёрпывают три ложки полученной смеси и переливают их обратно в стакан с молоком. Чего теперь больше: чая в стакане с молоком или молока в стакане с чаем?

ВверхВниз   Решение

Автор: Швецов Д.В.

На высоте BD треугольника ABC взята такая точка E, что  ∠AEC = 90°.  Точки O1 и O2 – центры описанных окружностей треугольников AEB и CEB; F, L – середины отрезков AC и O1O2. Докажите, что точки L, E, F лежат на одной прямой.

ВверхВниз   Решение

В треугольнике ABC стороны равны a, b, c; соответственные углы (в радианах) равны  $ \alpha$,$ \beta$,$ \gamma$. Докажите, что

$\displaystyle {\frac{\pi}{3}}$ $\displaystyle \leq$ $\displaystyle {\frac{a\alpha +b\beta +c\gamma }{a+b+c}}$ < $\displaystyle {\frac{\pi}{2}}$.


ВверхВниз   Решение

Сколько имеется четырёхзначных чисел, которые делятся на 45, а две средние цифры у них – 97?

ВверхВниз   Решение

Автор: Белухов Н.

Вокруг треугольника ABC описали окружность k. На сторонах треугольника отметили три точки A1, B1 и C1, после чего сам треугольник стёрли. Докажите, что его можно однозначно восстановить тогда и только тогда, когда прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 49]      

  с решениями  

Задача 64749  (#10.8)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Построение треугольников по различным точкам ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ Соображения непрерывности ]
[ Доказательство от противного ]
[ Теоремы Чевы и Менелая ]
Сложность: 5-
Классы: 10,11

Автор: Белухов Н.

Вокруг треугольника ABC описали окружность k. На сторонах треугольника отметили три точки A1, B1 и C1, после чего сам треугольник стёрли. Докажите, что его можно однозначно восстановить тогда и только тогда, когда прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий     Решение

Задача 65009  (#8)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Прямоугольные треугольники (прочее) ]
[ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Автор: Швецов Д.В.

В треугольнике ABC проведена высота AH. Точки Ib и Ic – центры вписанных окружностей треугольников ABH и CAH; L – точка касания вписанной окружности треугольника ABC со стороной BC. Найдите угол LIbIc.

Прислать комментарий     Решение

Задача 65010  (#9)

Темы:   [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
[ Четность и нечетность ]
[ Перпендикуляр короче наклонной. Неравенства для прямоугольных треугольников ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Автор: Френкин Б.Р.

Назовём точку внутри треугольника хорошей, если три проходящие через неё чевианы равны. В треугольнике ABC стороны AB и BC равны, а количество хороших точек нечётно. Чему оно может быть равно?

Прислать комментарий     Решение

Задача 65011  (#10)

Темы:   [ Построения с помощью двусторонней линейки ]
[ Ромбы. Признаки и свойства ]
[ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ]
[ Трапеции (прочее) ]
[ Отношения линейных элементов подобных треугольников ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

Автор: Богданов И.И.

Дан треугольник ABC. С помощью двусторонней линейки, проведя не более восьми линий, постройте на стороне AB такую точку D, что
AD : BD = BC : AC.

Прислать комментарий     Решение

Задача 65012  (#11)

Темы:   [ Выпуклые многоугольники ]
[ Разные задачи на разрезания ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Френкин Б.Р.

Выпуклый n-угольник разрезан на три выпуклых многоугольника. У одного из них n сторон, у другого – больше чем n, у третьего – меньше чем n.
Каковы возможные значения n?

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 49]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .