Версия для печати
Убрать все задачи

---

На сторонах AB, BC и CA равностороннего треугольника ABC отложены равные отрезки AD, BE и CF. Точки D, E и F соединены отрезками.
Докажите, что треугольник DEF – равносторонний.

   Решение

---

В треугольнике ABC известно, что  AB < BC < AC,  а один из углов вдвое меньше другого и втрое меньше третьего. Найдите угол при вершине A.

   Решение

---

Точки A, B, C и D последовательно расположены на окружности, причём центр O окружности расположен внутри четырёхугольника ABCD. Точки K, L, M и N – середины отрезков AB, BC, CD и AD соответственно. Докажите, что  ∠KON + ∠MOL = 180°.

   Решение

---

Пусть m и n – целые числа. Докажите, что  mn(m + n)  – чётное число.

   Решение

---

На листе бумаги нарисован выпуклый многоугольник M периметра P и площади S. Закрасили каждый круг радиуса R с центром в каждой точке, лежащей внутри этого многоугольника. Найдите площадь закрашенной фигуры.

   Решение

---

Решить в целых числах уравнения   a)  ¹/_a + ¹/_b = ¹/₇;   б)  ¹/_a + ¹/_b = ¹/₂₅.

   Решение

---

Основания прямоугольной трапеции равны 6 и 8. Один из углов при меньшем основании равен 120°. Найдите диагонали трапеции.

   Решение

---

Отрезки AB и CD пересекаются. Докажите, что если отрезки AC, CB, BD и AD равны, то луч AB является биссектрисой угла CAD, луч CD – биссектрисой угла ACB, а CD перпендикулярно AB.

   Решение

---

Найдется ли такое n, при котором   ?   А больше 1000?

   Решение

---

Пусть даны последовательности чисел {a_n} и {b_n}, связанные соотношением b_n = a_n,    (n = 1, 2,...). Как связаны частичные суммы S_n последовательности {a_n}

с последовательностью {b_n}?

   Решение

---

Две прямые, проходящие через точку M, лежащую вне окружности с центром O, касаются окружности в точках A и B. Отрезок OM делится окружностью пополам. В каком отношении отрезок OM делится прямой AB?

   Решение

---

На плоскости даны 10 точек: несколько из них – белые, а остальные – чёрные. Некоторые точки соединены отрезками. Назовём точку особой, если более половины соединенных с ней точек имеют цвет, отличный от её цвета. Каждым ходом выбирается одна из особых точек (если такие есть) и перекрашивается в противоположный цвет. Докажите, что через несколько ходов не останется ни одной особой точки.

   Решение

---

Докажите, что уравнение  x^x + 2y^y = z^z  не имеет решений в натуральных числах.

   Решение

---

У деда Мороза в мешке бесконечное число конфет, занумерованных натуральными числами. За минуту до Нового года он начинает дарить детям конфеты. Сначала он дарит детям конфету с номером 1. За полминуты до Нового года он дарит 2 конфеты с номерами 2 и 3, а конфету с номером 1 отбирает, за 15 секунд до Нового года он дарит 4 конфеты с номерами 4, 5, 6, 7, а 2 конфеты с номерами 2 и 3 отбирает, и т.д., за 1/2ⁿ долю минуты до Нового года дед Мороз дарит 2ⁿ конфет с номерами от 2ⁿ до 2ⁿ⁺¹-1 и отбирает 2^n-1 конфет с номерами от 2^n-1 до 2ⁿ-1. Сколько конфет будет у деда Мороза и у детей в момент встречи Нового года?

   Решение

---

На прямой выбраны три точки A, B и C, причём  AB = 3,  BC = 5.  Чему может быть равно AC?

   Решение

---

Найдите все пары натуральных чисел  (x, y),  удовлетворяющие уравнению  xy – x + 4y = 15.

   Решение

---

Даны четыре палочки. Оказалось, что из любых трёх из них можно сложить треугольник, при этом площади всех четырех треугольников равны. Обязательно ли все палочки одинаковой длины?

   Решение

Страница: << 25 26 27 28 29 30 31 >> [Всего задач: 1957]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 66473

Темы:   [ Площадь (прочее) ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Площадь треугольника (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10,11

Даны четыре палочки. Оказалось, что из любых трёх из них можно сложить треугольник, при этом площади всех четырех треугольников равны. Обязательно ли все палочки одинаковой длины?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66478

Тема:   [ Теория чисел. Делимость (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10,11

Существует ли число, в десятичной записи квадрата которого имеется последовательность цифр «2018»?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66479

Темы:   [ Геометрия на клетчатой бумаге ] [ Комбинаторная геометрия (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10,11

В клетчатом квадрате со стороной 2018 часть клеток покрашены в белый цвет, остальные — в чёрный. Известно, что из этого квадрата можно вырезать квадрат $10\times 10$, все клетки которого белые, и квадрат $10\times 10$, все клетки которого чёрные. При каком наименьшем $d$ можно гарантировать, что из него можно вырезать квадрат $10\times 10$, в котором количество чёрных и белых клеток отличается не больше чем на $d$?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66480

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Треугольники (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10,11

Точка $O$ — центр описанной окружности треугольника $ABC$, $AH$ — его высота. Точка $P$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $A$ на прямую $CO$. Докажите, что прямая $HP$ проходит через середину отрезка $AB$.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66484

Темы:   [ Квадратный трехчлен (прочее) ] [ Графики и ГМТ на координатной плоскости ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10,11

Графики квадратного трёхчлена и его производной разбивают координатную плоскость на четыре части. Сколько корней имеет этот квадратный трёхчлен?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 25 26 27 28 29 30 31 >> [Всего задач: 1957]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями