Каталог по источникам

Выбрано 16 задач

Докажите, что площадь треугольника, стороны которого равны медианам треугольника площади S, равна 3S/4.

Решите уравнение a² + b² + c² + d² – ab – bc – cd – d + ²/₅ = 0.

Два автобуса ехали навстречу друг другу с постоянными скоростями. Первый выехал из Москвы в 11 часов утра и прибыл в Ярославль в 16 часов, а второй выехал из Ярославля в 12 часов и прибыл в Москву в 17 часов. В котором часу они встретились?

Решение

Автор: Берлов С.Л.

В треугольнике ABC точки М и N – середины сторон АС и АВ соответственно. На медиане ВМ выбрана точка Р, не лежащая на CN. Оказалось, что
PC = 2PN. Докажите, что АР = ВС.

Решение

а) Докажите, что производящая функция последовательности чисел Фибоначчи F(x) = F₀ + F₁x + F₂x² + ... + F_nxⁿ + ...

может быть записана в виде где = , = .

б) Пользуясь результатом задачи 61490, получите формулу Бине (см. задачу 60578.

Решение

Вычислите производящие функции следующих последовательностей:

а) a_n = n; б) a_n = n²; в) a_n = C_mⁿ.

Решение

Докажите, что степень точки P относительно окружности S равна d² - R², где R — радиус S, d — расстояние от точки P до центра S.

Решение

Функции a, b и c заданы рядами

Докажите, что a³ + b³ + c³ – 3abc = (1 + x³)ⁿ.

Решение

Авторы: Белухов Н., Заславский А.А.

Четырехугольник $ABCD$ без равных и без параллельных сторон описан около окружности с центром $I$. Точки $K$, $L$, $M$ и $N$ – середины сторон $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$. Известно, что $AB\cdot CD=4IK\cdot IM$. Докажите, что $BC\cdot AD=4IL\cdot IN$.

Решение

Через некоторую точку, взятую внутри треугольника, проведены три прямые, параллельные сторонам. Эти прямые разбивают треугольник на шесть частей, три из которых – треугольники с площадями S₁, S₂, S₃. Найдите площадь S данного треугольника.

Решение

Лягушка прыгает по вершинам треугольника ABC, перемещаясь каждый раз в одну из соседних вершин.
Сколькими способами она может попасть из A в A за n прыжков?

Решение

Садовник, привив черенок редкого растения, оставляет его расти два года, а затем ежегодно берет от него по 6 черенков. С каждым новым черенком он поступает аналогично. Сколько будет растений и черенков на n-ом году роста первоначального растения?

Решение

Найдите у чисел а) (6 + )¹⁹⁹⁹; б) (6 + )¹⁹⁹⁹; в) (6 + )²⁰⁰⁰ первые 1000 знаков после запятой.

Решение

Как будет выглядеть формула n-го члена для рекуррентной последовательности k-го порядка, если
a) характеристическое уравнение имеет простые корни x₁,..., x_k, отличные от нуля;
б) характеристическое уравнение имеет отличные от нуля корни x₁, ..., x_m с кратностями α₁, ..., α_m соответственно?
Определения, связанные с рекуррентными последовательностями, смотри в справочнике.

Решение

Авторы: Рябов П., Рябова Т.

Дан треугольник $ABC$. На сторонах $AB$ и $BC$ взяты точки $M$ и $N$ так, что $MN\parallel AC$. Точки $M'$ и $N'$ симметричны соответственно точкам $M$ и $N$ относительно сторон $BC$ и $AB$ соответственно. Пусть $M'A$ пересекает $BC$ в точке $X$, а $N'C$ пересекает $AB$ в точке $Y$. Докажите, что точки $A$, $C$, $X$, $Y$ лежат на одной окружности.

Решение

Автор: Заславский А.А.

В треугольнике $ABC$ $O$ – центр описанной окружности, $H$ – ортоцентр, $M$ – середина $AB$. Прямая $MH$ пересекает прямую, проходящую через $O$ и параллельную $AB$, в точке $K$, лежащей на описанной окружности треугольника. Точка $P$ – проекция $K$ на $AC$. Докажите, что $PH\parallel BC$.

Решение

Задача 66784 (#16 [9-11 кл])

Задача 66785 (#17 [10-11 кл])

Задача 66786 (#18 [10-11 кл])

Задача 66787 (#19 [10-11 кл])

Задача 66788 (#20 [10-11 кл])