Версия для печати
Убрать все задачи

---

Докажите, что на рёбрах связного графа можно так расставить стрелки, чтобы из некоторой вершины можно было добраться по стрелкам до любой другой.

   Решение

---

Задача Иосифа Флавия

Существует легенда, что Иосиф Флавий - известный историк первого
века - выжил и стал известным благодаря математической одаренности.
В ходе иудейской войны он в составе отряда из 41 иудейского воина
был загнан римлянами в пещеру. Предпочитая самоубийство плену, воины решили
выстроиться в круг и последовательно убивать каждого третьего из
живых до тех пор, пока не останется ни одного человека.
Однако Иосиф наряду с одним из своих единомышленников счел подобный
конец бессмысленным - он быстро вычислил спасительные места
в порочном круге, на которые поставил себя и своего товарища.
И лишь поэтому мы знаем его историю.

В нашем варианте мы начнем с того,
что выстроим в круг N человек, пронумерованных числами от 1 до N,
и будем исключать каждого k-ого до тех пор, пока не уцелеет только
один человек. (Например, если N=10, k=3, то сначала умрет 3-й,
потом 6-й, затем 9-й, затем 2-й, затем 7-й, потом 1-й, потом 8-й,
за ним - 5-й, и потом 10-й. Таким образом, уцелеет 4-й.)

Задача: определить номер уцелевшего.

Входные данные: числа N и k вводятся из файла INPUT.TXT.
Ограничения: 1<=N<=500, 1<=k<=100.

Выходные данные: Программа должна выдавать номер уцелевшего человека
в файл OUTPUT.TXT.

Пример входного файла:
10 3

Пример выходного файла:
4

   Решение

---

Дан куб. Три плоскости, параллельные граням, разделили его на 8 параллелепипедов. Их покрасили в шахматном порядке. Объёмы чёрных параллелепипедов оказались равны 1, 6, 8, 12.
Найдите объёмы белых параллелепипедов.

   Решение

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 49]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 67013

Тема:   [ Простые числа и их свойства ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9,10

Найдите наибольшее натуральное $n$, обладающее следующим свойством: для любого простого нечетного $p$, меньшего $n$, разность  $n - p$  также является простым числом.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67038

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Количество и сумма делителей числа ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Турнир Городов проводится раз в год. Сейчас год проведения осеннего тура делится на номер турнира:  2021:43 = 47.  Сколько ещё раз человечество сможет наблюдать это удивительное явление?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67039

Темы:   [ Объем параллелепипеда ] [ Вычисление объемов ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10,11

Дан куб. Три плоскости, параллельные граням, разделили его на 8 параллелепипедов. Их покрасили в шахматном порядке. Объёмы чёрных параллелепипедов оказались равны 1, 6, 8, 12.
Найдите объёмы белых параллелепипедов.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67043

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10,11

Натуральное число $k$ назовём интересным, если произведение первых $k$ простых чисел делится на $k$ (например, произведение первых двух простых чисел – это  2·3 = 6,  и 2 – число интересное).
Какое наибольшее количество интересных чисел может идти подряд?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67063

Темы:   [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ Признаки делимости на 5 и 10 ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9,10

Петя взял произвольное натуральное число, умножил его на 5, результат снова умножил на 5, потом ещё на 5, и так далее.
Верно ли, что с какого-то момента все получающиеся у Пети числа будут содержать 5 в своей десятичной записи?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 49]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями