Один раз рыбак забросил в пруд сеть и вытащил 30 рыб. Пометив каждую рыбу меткой, он выпустил улов обратно в пруд. На следующий день рыбак снова забросил сеть и вытащил 40 рыб, среди которых были две помеченные. Как по этим данным приблизительно вычислить число рыб в пруду?

   Решение

Диагонали четырёхугольника делят его углы пополам. Докажите, что в такой четырёхугольник можно вписать окружность.

   Решение

Докажите, что если a и b – две стороны треугольника, γ – угол между ними и l – биссектриса этого угла, то

l = .

   Решение

С числом 123456789101112...9989991000 производится следующая операция: зачёркиваются две соседние цифры a и b (a стоит перед b) и на их место вставляется число a + 2b (можно в качестве a взять нуль, ``стоящий'' перед числом, а в качестве b — первую цифру числа). С полученным числом производится такая же операция и т.д. (Например, из числа 118 307 можно на первом шаге получить числа 218 307, 38 307, 117 307, 111 407, 11 837, 118 314.) Доказать, что таким способом можно получить число 1.

   Решение

Найдите площадь правильного шестиугольника, описанного около окружности, если известно, что хорда этой окружности, равная 4, удалена от её центра на расстояние, равное 5.

   Решение

Две хорды окружности взаимно перпендикулярны.
Докажите, что расстояние от точки их пересечения до центра окружности равно расстоянию между их серединами.

   Решение

Высоты треугольника ABC, проведённые из вершин A и C, пересекаются в точке M. Найдите ∠AMC, если  ∠A = 70°,  ∠C = 80°.

   Решение

В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) проведена высота CD . Угол BAC равен α . Радиус окружности, проходящей через точки A , C и D , равен R . Найдите площадь треугольника ABC .

   Решение

Колода перфокарт четырёх цветов разложена в один ряд. Если две перфокарты одного цвета лежат рядом или через одну, то можно выбрасывать ту из них, которая левее. Кроме того, можно подкладывать справа любое количество перфокарт из других колод. Доказать, что можно подкладывать и выбрасывать перфокарты таким образом, чтобы в конце концов их осталось только четыре.

   Решение

Окружность радиуса 2 касается окружности радиуса 4 в точке B. Прямая, проходящая через точку B , пересекает окружность меньшего радиуса в точке A, а большего радиуса – в точке C. Найдите BC, если  AC = 3

   Решение

Найдите последние две цифры в десятичной записи числа  1! + 2! + ... + 2001! + 2002!.

   Решение

Дан треугольник ABC площади 1. На медианах AK, BL и CN взяты точки P, Q и R так, что  AP = PK,  BQ : QL = 1 : 2,  CR : RN = 5 : 4.  Найдите площадь треугольника PQR.

   Решение

Три окружности радиусов 3, 4, 5 внешне касаются друг друга. Через точку касания окружностей радиусов 3 и 4 проведена их общая касательная. Найти длину отрезка этой касательной, заключённой внутри окружности радиуса 5.

   Решение

Страница: << 177 178 179 180 181 182 183 >> [Всего задач: 1982]      

Существует ли такое натуральное число n, что сумма цифр числа n² равна 100?

Прислать комментарий

Решение

Существует ли такой выпуклый 1976-гранник, который обладал бы следующим свойством: при произвольной расстановке стрелок на концах его рёбер сумма полученных векторов отлична от 0?

Прислать комментарий

Решение

Можно ли на плоскости расположить бесконечное множество одинаковых кругов так, чтобы любая прямая пересекала не более двух кругов?

Прислать комментарий

Решение

На плоскости отмечена точка O. Можно ли так расположить на плоскости:  а) 5 кругов;   б) 4 круга, не покрывающих точку O, чтобы каждый луч с началом в точке O пересекал не менее двух кругов?

Прислать комментарий

Решение

На плоскости отмечена точка O. Можно ли так расположить на плоскости   а) 7 кругов;  б) 6 кругов, не покрывающих точку O, чтобы каждый луч с началом в точке O пересекал не менее трёх кругов?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 177 178 179 180 181 182 183 >> [Всего задач: 1982]