Версия для печати
Убрать все задачи

---

Конечно или бесконечно число натуральных решений уравнения  x² + y³ = z²?

   Решение

---

Султан собрал 300 придворных мудрецов и предложил им испытание. Имеются колпаки 25 различных цветов, заранее известных мудрецам. Султан сообщил, что на каждого из мудрецов наденут один из этих колпаков, причём если для каждого цвета написать количество надетых колпаков, то все числа будут различны. Каждый мудрец будет видеть колпаки остальных мудрецов, а свой колпак нет. Затем все мудрецы одновременно огласят предполагаемый цвет своего колпака. Могут ли мудрецы заранее договориться действовать так, чтобы гарантированно хотя бы 150 из них назвали цвет верно?

   Решение

---

Ширина реки один километр. Это по определению означает, что от любой точки каждого берега можно доплыть до противоположного берега, проплыв не больше километра. Может ли катер проплыть по реке так, чтобы в любой момент расстояние до любого из берегов было бы не больше:
  а) 700 м?
  б) 800 м?
(Берега состоят из отрезков и дуг окружностей.)

   Решение

Страница: << 365 366 367 368 369 370 371 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 98162

Темы:   [ Многогранники и многоугольники (прочее) ] [ Выпуклые тела ] [ Свойства сечений ] [ Монотонность, ограниченность ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 5+ Классы: 10,11

Число рёбер многогранника равно 100.
  а) Какое наибольшее число рёбер может пересечь плоскость, не проходящая через его вершины, если многогранник выпуклый?
  б) Докажите, что для невыпуклого многогранника это число может равняться 96,
  в) но не может равняться 100.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98172

Темы:   [ Экстремальные свойства окружности и криволинейных фигур ] [ Вспомогательная раскраска (прочее) ] [ Задачи на движение ] [ Связность. Связные множества ]

Сложность: 5+ Классы: 8,9,10

Ширина реки один километр. Это по определению означает, что от любой точки каждого берега можно доплыть до противоположного берега, проплыв не больше километра. Может ли катер проплыть по реке так, чтобы в любой момент расстояние до любого из берегов было бы не больше:
  а) 700 м?
  б) 800 м?
(Берега состоят из отрезков и дуг окружностей.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98331

Темы:   [ Четность перестановки ] [ Обход графов ] [ Перестройки ]

Сложность: 5+ Классы: 9,10,11

  а) Четыре порта 1, 2, 3, 4 расположены (в этом порядке) на окружности круглого острова. Их связывает плоская сеть дорог, на которых могут быть перекрёстки, то есть точки, где пересекаются, сходятся или разветвляются дороги. На всех участках дорог введено одностороннее движение так, что, выехав от любого порта или перекрёстка, нельзя вернуться в него снова. Пусть  f_ij  означает число различных путей, идущих из порта i в порт j. Докажите неравенство   f₁₄f₂₃ ≥ f₁₃f₂₄.
  б) Докажите, что если портов шесть: 1, 2, 3, 4, 5, 6 (по кругу в этом порядке), то   f₁₆f₂₅f₃₄ + f₁₅f₂₄f₃₆ + f₁₄f₂₆f₃₅ ≥ f₁₆f₂₄f₃₅ + f₁₅f₂₆f₃₄ + f₁₄f₂₅f₃₆.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98443

Темы:   [ Шахматные доски и шахматные фигуры ] [ Четность и нечетность ] [ Деревья ] [ Доказательство от противного ] [ Многоугольники и многогранники с вершинами в узлах решетки ] [ Замощения костями домино и плитками ] [ Раскраски ] [ Теорема Пика ]

Сложность: 5+ Классы: 9,10,11

Ладья, делая ходы по вертикали и горизонтали на соседнее поле, за 64 хода обошла все поля шахматной доски 8×8 и вернулась на исходное поле. Докажите, что число ходов по вертикали не равно числу ходов по горизонтали.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 105118

Темы:   [ Многогранники и многоугольники (прочее) ] [ Выпуклые тела ] [ Тетраэдр (прочее) ] [ Параллельный перенос ] [ Движение помогает решить задачу ] [ Индукция в геометрии ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 5+ Классы: 10,11

Докажите, что в пространстве существует такое расположение 2001 выпуклого многогранника, что никакие три из многогранников не имеют общих точек, а каждые два касаются друг друга (то есть имеют хотя бы одну граничную точку, но не имеют общих внутренних точек).

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 365 366 367 368 369 370 371 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями