Каталог по темам

Задачи

Страница: << 77 78 79 80 81 82 83 >> [Всего задач: 2393]

Задача 109534

Темы:	[	Объем тетраэдра и пирамиды	]
	[	Теорема о промежуточном значении. Связность	]
	[	Площадь сечения	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Автор: Вавилов В.

Семь треугольных пирамид стоят на столе. Для любых трех из них существует горизонтальная плоскость, которая пересекает их по треугольникам равной площади. Доказать, что существует плоскость, пересекающая все семь пирамид по треугольникам равной площади.

Прислать комментарий Решение

Задача 109646

Темы:	[	Свойства разверток	]
	[	Цилиндр	]
	[	Раскраски	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Автор: Порошенко Е.

Квадрат n×n ( n 3 ) склеен в цилиндр. Часть клеток покрашена в черный цвет. Докажите, что найдутся две параллельных линии (две горизонтали, две вертикали или две диагонали), содержащие одинаковое количество черных клеток.

Прислать комментарий Решение

Задача 109820

Темы:	[	Ортогональная проекция (прочее)	]
	[	Прямоугольные параллелепипеды	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.)	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Автор: Акопян А.В.

Можно ли расположить в пространстве 12 прямоугольных параллелепипедов P₁ , P₂ , P12 , ребра которых параллельны координатным осям Ox , Oy , Oz так, чтобы P₂ пересекался (т.е. имел хотя бы одну общую точку) с каждым из оставшихся, кроме P₁ и P₃ , P₃ пересекался с каждым из оставшихся, кроме P₂ и P₄ , и т.д., P12 пересекался с каждым из оставшихся, кроме P11 и P₁ , P₁ пересекался с каждым из оставшихся, кроме P12 и P₂ ? (Поверхность параллелепипеда принадлежит ему.)

Прислать комментарий Решение

Задача 109843

Темы:	[	Сфера, описанная около тетраэдра	]
	[	Теорема о трех перпендикулярах	]
	[	Высота пирамиды (тетраэдра)	]
	[	Теорема Пифагора в пространстве	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Автор: Бахарев Ф.

Окружность с центром I , вписанная в грань ABC треугольной пирамиды SABC , касается отрезков AB , BC , CA в точках D , E , F соответственно. На отрезках SA , SB , SC отмечены соответственно точки A' , B' , C' так, что AA'=AD , BB'=BE , CC'=CF ; S' – точка на описанной сфере пирамиды, диаметрально противоположная точке S . Известно, что SI является высотой пирамиды. Докажите, что точка S' равноудалена от точек A' , B' , C' .

Прислать комментарий Решение

Задача 109999

Темы:	[	Описанные многогранники	]
	[	Ортогональная проекция (прочее)	]
	[	Векторы помогают решить задачу	]
	[	Скалярное произведение	]
	[	Площадь сферы и ее частей	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Автор: Евдокимов М.А.

Многогранник описан около сферы. Назовем его грань большой, если проекция сферы на плоскость грани целиком попадает в грань. Докажите, что больших граней не больше 6.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 77 78 79 80 81 82 83 >> [Всего задач: 2393]