Точка O лежит на отрезке AB, причём AO = 13, OB = 7. С центром в точке O проведена окружность радиуса 5. Из A и B к ней проведены касательные, пересекающиеся в точке M, причём точки касания лежат по одну сторону от прямой AB. Найдите радиус окружности, описанной вокруг треугольника AMB.

   Решение

Произведение пяти чисел не равно нулю. Каждое из этих чисел уменьшили на единицу, при этом их произведение не изменилось. Приведите пример таких чисел.

   Решение

Пусть M и N — середины сторон CD и DE правильного шестиугольника ABCDEF, P — точка пересечения отрезков AM и BN.
а) Найдите величину угла между прямыми AM и BN.
б) Докажите, что S_ABP = S_MDNP.

   Решение

Числовая последовательность  A₁, A₂, ..., A_n, ...  определена равенствами   A₁ = 1,   A₂ = – 1,   A_n = – A_n–1 – 2A_n–2   (n ≥ 3).
Докажите, что при любом натуральном n число     является полным квадратом.

   Решение

Из имеющихся последовательностей {b_n} и {c_n} (возможно, {b_n} совпадает с {c_n})  разрешается получать последовательности  {b_n + c_n},
{b_n – c_n},  {b_nc_n}  и  {^b_n/_cn}  (если все члены последовательности {c_n} отличны от 0). Кроме того, из любой имеющейся последовательности можно получить новую, вычеркнув несколько начальных членов. Сначала есть только последовательность {a_n}. Можно ли получить из неё описанными выше операциями последовательность {n}, то есть 1, 2, 3, 4, ..., если
  а)  a_n = n²;

  б)  

  в)  

   Решение

Делится ли  222⁵⁵⁵ + 555²²²  на 7?

   Решение

В классе 30 учеников. Докажите, что вероятность того, что у каких-нибудь двух учеников совпадают дни рождения, составляет больше 50%.

   Решение

Используя результат задачи 61403, докажите неравенства:
  а)   ≤   неравенство Коши);
  б)  

  в)     где  b₁ + ... + b_n = 1.
  Значения переменных считаются положительными.

   Решение

С помощью циркуля и линейки в данный треугольник впишите треугольник, равный другому данному треугольнику.

   Решение

Дан выпуклый четырёхугольник ABCD, в котором  ∠DAB = 90°.  Пусть M – середина стороны BC. Оказалось. что  ∠ADC = ∠BAM.
Докажите, что  ∠ADB = ∠CAM.

   Решение

Точки A₁, B₁, C₁ – середины сторон соответственно BC, AC, AB треугольника ABC. Известно, что A₁A и B₁B – биссектрисы углов треугольника A₁B₁C₁. Найдите углы треугольника ABC.

   Решение

Существует ли такое натуральное число n, что числа n, n², n³ начинаются на одну и ту же цифру, отличную от единицы?

   Решение

Из точки M внутри четырёхугольника ABCD опущены перпендикуляры на стороны. Основания перпендикуляров лежат внутри сторон. Обозначим эти основания: то, которое лежит на стороне AB — через X, лежащее на стороне BC — через Y, лежащее на стороне CD — через Z, лежащее на стороне DA — через T. Известно, что AX ≥ XB, BY ≥ YC, CZ ≥ ZD, DT ≥ TA. Докажите, что вокруг четырёхугольника ABCD можно описать окружность.

   Решение

В равнобедренном треугольнике KLM (KL = LM) угол KLM равен . Найдите отношение радиусов вписанной и описанной окружностей треугольника KLM.

   Решение

Около треугольника ABC, в котором BC = a, B = , C = , описана окружность. Биссектриса угла A пересекает эту окружность в точке K. Найдите AK.

   Решение

На окружности радиуса 1 отмечено 100 точек. Доказать, что на этой окружности можно найти такую точку, чтобы сумма расстояний от неё до всех отмеченных точек была больше 100.

   Решение

Найти все трёхзначные числа, равные сумме факториалов своих цифр.

   Решение

Совершенное число, большее 28, делится на 7. Докажите, что оно делится на 49.

   Решение

С помощью циркуля и линейки через данную точку внутри круга проведите хорду, равную данному отрезку.

   Решение

Дан треугольник со сторонами 12, 15, 18. Проведена окружность, касающаяся обеих меньших сторон и имеющая центр на большой стороне. Найдите отрезки, на которые центр окружности делит большую сторону треугольника.

   Решение

В треугольнике ABC известно, что A = 120^o, стороны AC = 1 и BC = . На продолжении стороны CA взята точка M так, что BM является высотой треугольника ABC. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A и M и касающейся в точке M окружности, проходящей через точки M, B и C.

   Решение

Страница: << 46 47 48 49 50 51 52 >> [Всего задач: 289]      

В треугольнике ABC на стороне AB выбраны точки K и L так, что AK = BL, а на стороне BC — точки M и N так, что CN = BM. Докажите, что KN + LM ≥ AC.

Прислать комментарий

Решение

Все биссектрисы треугольника меньше 1. Докажите, что его площадь меньше 1.

Прислать комментарий

Решение

Сколько в выпуклом многоугольнике может быть сторон, равных наибольшей диагонали?

Прислать комментарий

Решение

На прямой расположены три точки A, B и C, причём  AB = BC = 3.  Три окружности радиуса R имеют центры в точках A, B и C.
Найдите радиус четвёртой окружности, касающейся всех трёх данных, если   а)  R = 1;   б)  R = 2;   в)  R = 5.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что в любом треугольнике сумма длин его медиан больше периметра, но меньше периметра.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 46 47 48 49 50 51 52 >> [Всего задач: 289]