Версия для печати
Убрать все задачи

---

В остроугольном треугольнике ABC через центр O описанной окружности и вершины B и C проведена окружность S. Пусть OK – диаметр окружности S, D и E – соответственно точки её пересечения с прямыми AB и AC. Докажите, что ADKE – параллелограмм.

   Решение

---

Основанием прямой призмы служит равнобедренная трапеция с острым углом α . Боковая сторона трапеции и её меньшее основание равны. Найдите объём призмы, если диагональ призмы равна a и образует с плоскостью основания угол β .

   Решение

---

В коммерческом турнире по футболу участвовало пять команд. Каждая должна была сыграть с каждой из остальных ровно один матч. В связи с финансовыми трудностями организаторы некоторые игры отменили. В итоге оказалось, что все команды набрали различное число очков и ни одна команда в графе набранных очков не имеет нуля. Какое наименьшее число игр могло быть сыграно в турнире, если за победу начислялось три очка, за ничью – одно, за поражение – ноль?

   Решение

---

Около прямоугольника $ABCD$ описана окружность. На меньшей дуге $BC$ окружности взята произвольная точка $E$. К окружности проведена касательная в точке $B$, пересекающая прямую $CE$ в точке $G$. Отрезки $AE$ и $BD$ пересекаются в точке $K$. Докажите, что прямые $GK$ и $AD$ перпендикулярны.

   Решение

---

Угол между соседними боковыми гранями правильной шестиугольной пирамиды равен γ . Найдите плоский угол при вершине пирамиды.

   Решение

---

Придворный астролог называет момент времени хорошим, если часовая, минутная и секундная стрелки часов находятся по одну сторону от какого-нибудь диаметра циферблата (стрелки вращаются на общей оси и не делают скачков). Какого времени в сутках больше, хорошего или плохого?

   Решение

---

Мальвина дала Буратино задание: "Сосчитай кляксы в своей тетрадке, прибавь к их числу 7, раздели на 8, умножь на 6 и отними 9. Если сделаешь всё правильно, получишь простое число". Буратино всё перепутал. Кляксы он подсчитал точно, но потом умножил их количество на 7, вычел из результата 8, затем разделил на 6 и прибавил 9. Какой ответ получился у Буратино?

   Решение

---

Плоский угол при вершине правильной шестиугольной пирамиды равен ϕ . Найдите угол между соседними боковыми гранями пирамиды.

   Решение

---

Каждую сторону выпуклого четырёхугольника продолжили в обе стороны и на всех восьми продолжениях отложили равные между собой отрезки. Оказалось, что получившиеся восемь точек – внешние концы построенных отрезков – различны и лежат на одной окружности. Докажите, что исходный четырёхугольник – квадрат.

   Решение

---

В трапеции KLMN известно, что LMKN, KLM = , LM = l, KN = k, MN = a. Окружность проходит через точки M и N и касается прямой KL в точке A. Найдите площадь треугольника AMN.

   Решение

---

Основанием прямой призмы служит ромб с острым углом α . Найдите объём призмы, если её большая диагональ равна l и образует с плоскостью основания угол β .

   Решение

---

На доске записано целое число. Его последняя цифра запоминается, затем стирается и, умноженная на 5, прибавляется к тому числу, что осталось на доске после стирания. Первоначально было записано число 7¹⁹⁹⁸. Может ли после применения нескольких таких операций получиться число 1998⁷?

   Решение

---

Пусть S1 и S2 – две окружности, лежащие одна вне другой. Общая внешняя касательная касается их в точках A и B . Окружность S3 проходит через точки A и B и вторично пересекает окружности S1 и S2 в точках C и D соответственно; K – точка пересечения прямых, касающихся окружностей S1 и S2 соответственно в точках C и D . Докажите, что KC=KD .

   Решение

---

В равнобедренном треугольнике ABC  (AB = BC)  средняя линия, параллельная стороне BC, пересекается со вписанной окружностью в точке F, не лежащей на основании AC. Докажите, что касательная к окружности в точке F пересекается с биссектрисой угла C на стороне AB.

   Решение

---

Можно ли все клетки таблицы 9×2002 заполнить натуральными числами так, чтобы суммы чисел в каждом столбце и суммы чисел в каждой строке были бы простыми числами?

   Решение

---

Диагонали трапеции ABCD пересекаются в точке K. На боковых сторонах трапеции, как на диаметрах, построены окружности. Точка K лежит вне этих окружностей. Докажите, что длины касательных, проведённых к этим окружностям из точки K, равны.

   Решение

---

Дан остроугольный треугольник ABC. Точки B' и C' симметричны соответственно вершинам B и C относительно прямых AC и AB. Пусть P – точка пересечения описанных окружностей треугольников ABB' и ACC', отличная от A. Докажите, что центр описанной окружности треугольника ABC лежит на прямой PA.

   Решение

---

Хорда CD окружности с центром O перпендикулярна ее диаметру AB, а хорда AE делит пополам радиус OC.
Докажите, что хорда DE делит пополам хорду BC.

   Решение

Страница: << 44 45 46 47 48 49 50 >> [Всего задач: 1282]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 67231

Темы:   [ Величина угла между двумя хордами и двумя секущими ] [ Подобные треугольники (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Биссектрисы углов $A$, $B$ и $C$ треугольника $ABC$ вторично пересекают описанную окружность в точках $A_1$, $B_1$, $C_1$ соответственно. Точки $A_2$, $B_2$; $C_2$ – середины отрезков $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ соответственно. Докажите, что треугольники $A_1B_1C_1$ и $A_2B_2C_2$ подобны.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67370

Темы:   [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Поворотная гомотетия (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AC=BC$) $O$ – центр описанной окружности, $H$ – ортоцентр, $P$ – такая точка внутри треугольника, что $\angle APH=\angle BPO=\pi/2$. Докажите, что $\angle PAC=\angle PBA=\angle PCB$.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108486

Темы:   [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Площадь четырехугольника ] [ Теорема синусов ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

В выпуклом четырёхугольнике PQRS диагонали PR и QS перпендикулярны соответственно сторонам RS и PQ, а сторона PS равна 4. На стороне PS расположена точка K так, что QKP = SKR. Известно, что RPS - PSQ = 45^o. Найдите длину ломаной QKR и площадь четырёхугольника PQRS, если отношение QK : RK = : 3.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108490

Темы:   [ Угол между касательной и хордой ] [ Теорема синусов ] [ Пересекающиеся окружности ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Отрезок AB является диаметром окружности. Вторая окружность с центром в точке B имеет радиус, равный 2, и пересекается с первой окружностью в точках C и D. Хорда CE второй окружности является частью касательной к первой окружности и равна 3. Найдите радиус первой окружности.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109609

Темы:   [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Теорема Паскаля ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Хорды и секущие (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Хорда CD окружности с центром O перпендикулярна ее диаметру AB, а хорда AE делит пополам радиус OC.
Докажите, что хорда DE делит пополам хорду BC.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 44 45 46 47 48 49 50 >> [Всего задач: 1282]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями