Пусть T₁, T₂ – точки касания вневписанных окружностей треугольника ABC со сторонами BC и AC соответственно. Оказалось, что точка, симметричная центру вписанной окружности треугольника относительно середины AB, лежит на описанной окружности треугольника CT₁T₂. Найдите угол BCA.

   Решение

На плоскости проведены n окружностей так, что любые две из них пересекаются в паре точек, и никакие три не проходят через одну точку. На сколько частей делят плоскость эти окружности?

   Решение

Докажите, что две непересекающиеся окружности S₁ и S₂ (или окружность и прямую) можно при помощи инверсии перевести в пару концентрических окружностей.

   Решение

Докажите, что при инверсии относительно описанной окружности изодинамические центры треугольника переходят друг в друга.

   Решение

На боковых сторонах AB и AC равнобедренного треугольника ABC отметили точки K и L соответственно так, что  AK = CL  и  ∠ALK + ∠LKB = 60°.
Докажите, что  KL = BC.

   Решение

Найдите наибольшее число цветов, в которые можно покрасить рёбра куба (каждое ребро одним цветом) так, чтобы для каждой пары цветов нашлись два соседних ребра, покрашенные в эти цвета. Соседними считаются рёбра, имеющие общую вершину.

   Решение

Площадь ромба ABCD равна 2. В треугольник ABD вписана окружность, которая касается стороны AB в точке K. Через точку K проведена прямая KL, параллельная диагонали AC ромба (точка L лежит на стороне BC). Найдите угол BAD, если известно, что площадь треугольника KLB равна a.

   Решение

Найдите производящие функции последовательности многочленов Фибоначчи  F(x, z) = F₀(x) + F₁(x)z + F₂(x)z² + ... + F_n(x)zⁿ + ...
и последовательности многочленов Люка   L(x, z) = L₀(x) + L₁(x)z + L₂(x)z² + ... + L_n(x)zⁿ + ...
Определения многочленов Фибоначчи и Люка можно найти в справочнике.

   Решение

На доске написано n натуральных чисел. Пусть a_k – количество тех из них, которые больше k. Исходные числа стерли и вместо них написали все положительные a_k. Докажите, что если с новыми числами сделать то же самое, то на доске окажется исходный набор чисел.
Например, для чисел 5, 3, 3, 2, получается следующая цепочка   (5, 3, 3, 2)  →  (4, 4, 3, 1, 1)  →  (5, 3, 3, 2).

   Решение

а) Найдите производящую функцию последовательности чисел Люка (определение чисел Люка смотри в задаче 60585)

б) Пользуясь этой функцией, выразите L_n через φ и (см. задачу 61502).

   Решение

Точки K и N расположены соответственно на сторонах AB и AC треугольника ABC, причём  AK = BK  и  AN = 2NC.
В каком отношении отрезок KN делит медиану AM треугольника ABC?

   Решение

На сторонах AD и CD параллелограмма ABCD взяты точки M и N так, что  MN || AC.  Докажите, что  S_ABM = S_CBN.

   Решение

Среди n рыцарей каждые двое – либо друзья, либо враги. У каждого из рыцарей ровно три врага, причём враги его друзей являются его врагами.
При каких n такое возможно?

   Решение

Назовем выпуклый семиугольник особым, если три его диагонали пересекаются в одной точке. Докажите, что, слегка пошевелив одну из вершин особого семиугольника, можно получить неособый семиугольник.

   Решение

Докажите, что в любом выпуклом многоугольнике, кроме параллелограмма, можно выбрать три стороны, при продолжении которых образуется треугольник, объемлющий данный многоугольник.

   Решение

Дана равнобедренная трапеция ABCD. Известно, что  AD = 10,  BC = 2,  AB = CD = 5.  Биссектриса угла BAD пересекает продолжение основания BC
в точке K. Найдите биссектрису угла ABK в треугольнике ABK.

   Решение

Радиус вписанной в треугольник PQR окружности равен 5, причём   RP = RQ.  На прямой PQ взята точка A, удалённая от прямых PR и QR на расстояния 12 и 2 соответственно. Найдите косинус угла AQR.

   Решение

Семиугольник, три угла которого равны по 120^o , вписан в окружность. Могут ли все его стороны быть различными по длине?

   Решение

Дана окружность и точка вне её; из этой точки мы совершаем путь по замкнутой ломаной, состоящей из отрезков прямых, касательных к окружности, и заканчиваем путь в начальной точке. Участки пути, по которым мы приближались к центру окружности, берём со знаком плюс, а участки пути, по которым мы удалялись от центра, — со знаком минус. Докажите, что для любого такого пути сумма длин участков пути, взятых с указанными знаками, равна нулю.

   Решение

Четырехугольник ABCD вписан в окружность, причем касательные в точках B и D пересекаются в точке K, лежащей на прямой AC.
а) Докажите, что  AB ^. CD = BC ^. AD.
б) Прямая, параллельная KB, пересекает прямые BA, BD и BC в точках P, Q и R. Докажите, что PQ = QR.

   Решение

Окружность, проходящая через вершины A и C и ортоцентр треугольника ABC , пересекает стороны AB и BC в точках X и Y . На стороне AC выбраны точки Z и T так, что ZX=ZY и ZA=TC . Докажите, что BT XY .

   Решение

Дана незамкнутая ломаная ABCD, причём  AB = CD,  ∠ABC = ∠BCD  и точки A и D расположены по одну сторону от прямой BC. Докажите, что  AD || BC.

   Решение

Окружности S₁ и S₂ пересекаются в точках A и B, причем центр O окружности S₁ лежит на S₂. Прямая, проходящая через точку O, пересекает отрезок AB в точке P, а окружность S₂ в точке C. Докажите, что точка P лежит на поляре точки C относительно окружности S₁.

   Решение

Дана окружность и точка A вне её; AB и AC — касательные к окружности (B и C — точки касания). Докажите, что центр окружности, вписанной в треугольник ABC, лежит на данной окружности.

   Решение

Выпуклый многоугольник A₁...A_n лежит внутри окружности S₁, а выпуклый многоугольник B₁...B_m — внутри S₂. Докажите, что если эти многоугольники пересекаются, то одна из точек A₁, ..., A_n лежит внутри S₂ или одна из точек B₁, ..., B_m лежит внутри S₁.

   Решение

На каждой стороне четырехугольника ABCD взято по две точки, и они соединены так, как показано на рис. Докажите, что если все пять заштрихованных четырехугольников описанные, то четырехугольник ABCD тоже описанный.

   Решение

Страница: << 46 47 48 49 50 51 52 >> [Всего задач: 772]      

Дан параллелограмм ABCD. Вневписанная окружность треугольника ABD касается продолжений сторон AD и AB в точках M и N. Докажите, что точки пересечения отрезка MN с BC и CD лежат на вписанной окружности треугольника BCD.

Прислать комментарий

Решение

На каждой стороне четырехугольника ABCD взято по две точки, и они соединены так, как показано на рис. Докажите, что если все пять заштрихованных четырехугольников описанные, то четырехугольник ABCD тоже описанный.

Прислать комментарий

Решение

Дана окружность и точка вне её; из этой точки мы совершаем путь по замкнутой ломаной, состоящей из отрезков прямых, касательных к окружности, и заканчиваем путь в начальной точке. Участки пути, по которым мы приближались к центру окружности, берём со знаком плюс, а участки пути, по которым мы удалялись от центра, — со знаком минус. Докажите, что для любого такого пути сумма длин участков пути, взятых с указанными знаками, равна нулю.

Прислать комментарий

Решение

Из точки A проведены касательные AB и AC к окружности и секущая, пересекающая окружность в точках D и E; M — середина отрезка BC. Докажите, что  BM² = DM ^. ME и угол DME в два раза больше угла DBE или угла DCE; кроме того,  BEM = DEC.

Прислать комментарий

Решение

Четырехугольник ABCD вписан в окружность, причем касательные в точках B и D пересекаются в точке K, лежащей на прямой AC.
а) Докажите, что  AB ^. CD = BC ^. AD.
б) Прямая, параллельная KB, пересекает прямые BA, BD и BC в точках P, Q и R. Докажите, что PQ = QR.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 46 47 48 49 50 51 52 >> [Всего задач: 772]