Версия для печати
Убрать все задачи

---

В равнобедренной трапеции проведена диагональ. По контуру каждого из получившихся двух треугольников ползёт свой жук. Скорости движения жуков постоянны и одинаковы. Жуки не меняют направления обхода своих контуров, и по диагонали трапеции они ползут в разных направлениях. Докажите, что при любых начальных положениях жуков они когда-нибудь встретятся.

   Решение

---

Уравнение  x² + px + q = 0  имеет корни x₁ и x₂. Напишите уравнение, корнями которого будут числа y₁, y₂ равные:

а)       б)       в)       г)  

   Решение

---

Касательная в точке A к описанной окружности треугольника ABC пересекает прямую BC в точке E;AD - биссектриса треугольника ABC. Докажите, что AE = ED.

   Решение

---

Две окружности радиусов r и R с центрами в точках O₁ и O касаются внутренним образом в точке K. В точке A окружности радиуса r проведена касательная, пересекающая окружность радиуса R в точках B и C. Известно, что AC : AB = p и отрезок AC пересекает отрезок OK. Определите:

а) при каких условиях на r, R и p возможна такая геометрическая конфигурация;

б) длину отрезка BC.

   Решение

---

По мнению Тани, в идеальном кофейном напитке должно быть ровно в 9 раз больше кофе, чем молока. У Глеба есть стакан и кружка, а также целая цистерна молока и огромная турка с неограниченным запасом кофе. Аккуратный Глеб может отпить ровно половину содержимого кружки или стакана. Как Глебу приготовить для Тани целый стакан идеального кофейного напитка, если точный объём кружки неизвестен, но он как минимум на $10\%$ больше объёма стакана? Глеб может наливать кофе и молоко в стакан или в кружку, может выливать содержимое, переливать из кружки в стакан или наоборот, отпивать половину содержимого любое конечное количество раз.

   Решение

---

Периметр прямоугольника равен 40. Какой из таких прямоугольников имеет наибольшую площадь?

   Решение

---

Окружности $s_1$ и $s_2$ пересекаются в точках $A$ и $B$. Через точку $A$ проводятся всевозможные прямые, вторично пересекающие окружности в точках $P_1$ и $P_2$. Постройте циркулем и линейкой ту прямую, для которой $P_1A\cdot AP_2$ принимает наибольшее значение.

   Решение

---

Дан треугольник $ABC$. Прямая $AB$ касается его вписанной окружности в точке $C'$, а вневписанной, касающейся стороны $BC$, – в точке $C'_a$. Аналогично определяются точки $C'_b$, $C'_c$, $A'$, $A'_a$, $A'_b$, $A'_c$, $B'$, $B'_a$, $B'_b$, $B'_c$. Рассмотрим длины 12 отрезков – высот треугольников $A'B'C'$, $A'_aB'_aC'_a$, $A'_bB'_bC'_b$, $A'_cB'_cC'_c$.

а) Какое наибольшее число различных может быть среди них?

б) Найдите все возможные количества различных длин.

   Решение

---

В квадрате отметили 20 точек и соединили их непересекающимися отрезками друг с другом и с вершинами квадрата так, что квадрат разбился на треугольники. Сколько получилось треугольников?

   Решение

---

Какое наибольшее число острых углов может иметь выпуклый многоугольник?

   Решение

---

Даны три точки, не лежащие на одной прямой. Через каждые две из них провести окружность так, чтобы три проведённые окружности имели в точках пересечения взаимно перпендикулярные касательные.

   Решение

---

Докажите, что медиана треугольника ABC, проведённая из вершины A, меньше полусуммы сторон AB и AC.

   Решение

---

Найдите число нулей, на которое оканчивается число  11¹⁰⁰ – 1.

   Решение

---

Параллельные стороны трапеции равны 25 и 4, а непараллельные – 20 и 13. Найдите высоту трапеции.

   Решение

---

Дана тригармоническая четвёрка точек A, B, C и D (то есть  AB·CD = AC·BD = AD·BC).  Пусть A₁ – такая отличная от A точка, что четвёрка точек A₁, B, C и D тригармоническая. Точки B₁, C₁ и D₁ определяются аналогично. Докажите, что
  a) A, B, C₁, D₁ лежат на одной окружности;
  б) точки A₁, B₁, C₁, D₁ образуют тригармоническую четвёрку.

   Решение

---

Каждая из шести окружностей касается четырех из оставшихся пяти (рис.). Докажите, что для любой пары несоприкасающихся окружностей (из этих шести) их радиусы и расстояние между центрами связаны соотношением d² = r₁² + r₂²±6r₁r₂ (к плюск — если окружности не лежат одна внутри другой, к минуск — в противном случае).

   Решение

---

Может ли квадрат какого-либо натурального числа начинаться с 1983 девяток?

   Решение

---

Треугольник ABC вписан в окружность с центром O. Точки D и E диаметрально противоположны вершинам A и B соответственно. Хорда DF параллельна стороне BC. Прямая EF пересекает сторону AC в точке G, а сторону BC – в точке H. Докажите, что  OG || BC  и  EG = GH = GC.

   Решение

---

У Пети есть колода из 36 карт (4 масти по 9 карт в каждой). Он выбирает из неё половину карт (какие хочет) и отдаёт Васе, а вторую половину оставляет себе. Далее каждым ходом игроки по очереди выкладывают на стол по одной карте (по своему выбору, в открытом виде); начинает Петя. Если в ответ на ход Пети Вася смог выложить карту той же масти или того же достоинства, Вася зарабатывает
1 очко. Какое наибольшее количество очков он может гарантированно заработать?

   Решение

---

На доске n×n расставлено  n – 1  фишек так, что никакие две из них не стоят на соседних (по стороне) клетках.
Докажите, что одну из них можно передвинуть на соседнюю клетку так, чтобы снова никакие две фишки не стояли на соседних клетках.

   Решение

---

Пусть известно, что все корни некоторого уравнения  x³ + px² + qx + r = 0  положительны. Какому дополнительному условию должны удовлетворять его коэффициенты p, q и r для того, чтобы из отрезков, длины которых равны этим корням, можно было составить треугольник?

   Решение

---

Можно ли доску размерами 4 × N обойти ходом коня, побывав на каждом поле ровно один раз, и вернуться на исходное поле?

   Решение

---

Дан параллелограмм ABCD. Прямая, проходящая через вершину C, пересекает прямые AB и AD в точках K и L. Площади треугольников KBC и CDL равны p и q. Найдите площадь параллелограмма ABCD.

   Решение

---

Юра и Яша имеют по экземпляру одной и той же клетчатой таблицы 5×5, заполненной 25 различными числами. Юра выбирает наибольшее число в таблице и вычёркивает строку и столбец, содержащие это число, затем выбирает наибольшее из оставшихся чисел и вычёркивает строку и столбец, содержащие это число, и т.д. Яша производит аналогичные действия, но выбирает наименьшие числа. Может ли случиться, что сумма чисел, выбранных Яшей
  a) больше суммы чисел, выбранных Юрой?
  б) больше суммы любых других пяти чисел исходной таблицы, удовлетворяющих условию: никакие два из них не стоят в одной строке или в одном столбце?

   Решение

---

Над квадратным катком нужно повесить четыре лампы так, чтобы они его полностью освещали. На какой наименьшей высоте нужно повесить лампы, если каждая лампа освещает круг радиуса, равного высоте, на которой она висит?

   Решение

---

Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 1. Одна сфера радиуса касается плоскости ABC в точке A ; другая сфера касается плоскости A1B1C1 в точке E1 , лежащей на отрезке B1C1 , причём B1E1:E1C1 = 2:1 . Известно, что эти сферы касаются друг друга внешним образом и точка их касания лежит внутри куба. Найдите расстояние от точки касания сфер до точки D .

   Решение

---

Медианы AN и BM треугольника ABC равны 6 и 9 соответственно и пересекаются в точке K, причём угол AKB равен 30^o. Найдите площадь треугольника ABC.

   Решение

---

Постройте треугольник по стороне, медиане, проведённой к этой стороне и медиане, проведённой к одной из двух других сторон.

   Решение

Темы:    [ Построение треугольников по различным элементам ] [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Постройте треугольник по стороне, медиане, проведённой к этой стороне и медиане, проведённой к одной из двух других сторон.

Подсказка

Пусть O — точка пересечения медиан треугольника ABC. Если AM и BN — данные медианы, а BC — данная сторона, то стороны треугольника BOM известны.

Решение

Предположим, что нужный треугольник ABC построен. Пусть BC = a -- данная сторона, AM = m₁ и BN = m₂ — данные медианы, O — точка их пересечения. Рассмотрим треугольник BOM. В нём

Этот треугольник можно построить по трём сторонам. Затем его легко достроить до искомого треугольника.

Источники и прецеденты использования