Версия для печати
Убрать все задачи

---

На доске записано 101 число: 1², 2², ..., 101². За одну операцию разрешается стереть любые два числа, а вместо них записать модуль их разности.
Какое наименьшее число может получиться в результате 100 операций?

   Решение

---

Семизначный код, состоящий из семи различных цифр, назовем хорошим. Паролем сейфа является хороший код. Известно, что сейф откроется, если введён хороший код и на каком-нибудь месте цифра кода совпала с соответствующей цифрой пароля. Можно ли гарантированно открыть сейф быстрее, чем за семь попыток?

   Решение

Страница: << 199 200 201 202 203 204 205 >> [Всего задач: 1984]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 64725

Темы:   [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ] [ Признаки подобия ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

На сторонах AD и CD параллелограмма ABCD с центром O отмечены такие точки P и Q соответственно, что  ∠AOP = ∠COQ = ∠ABC.
  а) Докажите, что  ∠ABP = ∠CBQ.
  б) Докажите, что прямые AQ и CP пересекаются на описанной окружности треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64726

Темы:   [ Десятичная система счисления ] [ Четность и нечетность ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Саша обнаружил, что на калькуляторе осталось ровно n исправных кнопок с цифрами. Оказалось, что любое натуральное число от 1 до 99999999 можно либо набрать, используя лишь исправные кнопки, либо получить как сумму двух натуральных чисел, каждое из которых можно набрать, используя лишь исправные кнопки. Каково наименьшее n, при котором это возможно?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64728

Темы:   [ Квадратный трехчлен (прочее) ] [ Целочисленные и целозначные многочлены ] [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Существует ли такой квадратный трёхчлен  f(x) = ax² + bx + c  с целыми коэффициентами и a, не кратным 2014, что все числа  f(1),  f(2), ...,  f(2014) имеют различные остатки при делении на 2014?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64729

Темы:   [ Тригонометрические неравенства ] [ Возрастание и убывание. Исследование функций ] [ Производная и экстремумы ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Найдите все такие a и b, что    и при всех x выполнено неравенство  |a sin x + b sin 2x| ≤ 1.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65194

Темы:   [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ] [ Принцип Дирихле (площадь и объем) ]

Сложность: 4- Классы: 9,10

Каждый день Фрёкен Бок испекает квадратный торт размером 3×3. Карлсон немедленно вырезает себе из него четыре квадратных куска размером 1×1 со сторонами, параллельными сторонам торта (не обязательно по линиям сетки 3×3). После этого Малыш вырезает себе из оставшейся части торта квадратный кусок со сторонами, также параллельными сторонам торта. На какой наибольший кусок торта может рассчитывать Малыш вне зависимости от действий Карлсона?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 199 200 201 202 203 204 205 >> [Всего задач: 1984]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями