Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все источники >> Олимпиады и турниры >> Московская математическая олимпиада
Годы:
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 18 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Средний возраст одиннадцати игроков футбольной команды – 22 года. Во время матча один из игроков получил травму и ушёл с поля. Средний возраст оставшихся на поле игроков стал равен 21 году. Сколько лет футболисту, получившему травму?

Вниз   Решение

Автор: Шаповалов А.В.

В Простоквашинской начальной школе учится всего 20 детей. У каждых двух из них есть общий дед.
Докажите, что у одного из дедов в этой школе учится не менее 14 внуков и внучек.

ВверхВниз   Решение

Сколько существует девятизначных чисел, сумма цифр которых чётна?

ВверхВниз   Решение

Сколькими способами можно разбить 14 человек на пары?

ВверхВниз   Решение

Докажите, что произведение любых трёх последовательных натуральных чисел делится на 6.

ВверхВниз   Решение

Докажите, что произведение любых пяти последовательных чисел делится   а) на 30;   б) на 120.

ВверхВниз   Решение

Автор: Смирнова Л.

Имеется кучка из 100 камней. Двое играют в следующую игру. Первый игрок забирает 1 камень, потом второй может забрать 1 или 2 камня, потом первый может забрать 1, 2 или 3 камня, затем второй 1, 2, 3 или 4 камня, и так далее. Выигрывает тот, кто забирает последний камень. Кто может выиграть, как бы ни играл соперник?

ВверхВниз   Решение

Высота усечённого конуса равна радиусу его большего основания; периметр правильного шестиугольника, описанного около меньшего основания, равен периметру равностороннего треугольника, вписанного в большее основание. Определить угол наклона образующей конуса к плоскости основания.

ВверхВниз   Решение

Развертка боковой поверхности конуса представляет сектор с углом в 120o; в конус вписана треугольная пирамида, углы основания которой составляют арифметическую прогрессию с разностью 15o. Определить угол наклона к плоскости основания наименьшей из боковых граней.

ВверхВниз   Решение

Пирамида, все боковые рёбра которой наклонены к плоскости основания под углом $ \varphi$, имеет в основании равнобедренный треугольник с углом $ \alpha$, заключённым между равными сторонами. Определить двугранный угол при ребре, соединяющем вершину пирамиды с вершиной угла $ \alpha$.

ВверхВниз   Решение

Найти объём правильной четырёхугольной пирамиды, стороны основания которой a, а плоские углы при вершине равны углам наклона боковых рёбер к плоскости основания.

ВверхВниз   Решение

Два отрезка AB и CD пересекаются в точке O, которая является серединой каждого из них. Докажите равенство треугольников ACD и BDC.

ВверхВниз   Решение

На сторонах AB, BC и CA равностороннего треугольника ABC отложены равные отрезки AD, BE и CF. Точки D, E и F соединены отрезками.
Докажите, что треугольник DEF – равносторонний.

ВверхВниз   Решение

Докажите равенство треугольников по двум сторонам и медиане, проведенной к одной из них.

ВверхВниз   Решение

Имеется 13 гирь, каждая из которых весит целое число граммов. Известно, что любые 12 из них можно так разложить на две чашки весов, по шесть гирь на каждой, что наступит равновесие. Докажите, что все гири имеют один и тот же вес.

ВверхВниз   Решение

Стороны BA, AC и CB равностороннего треугольника продолжены соответственно за точки A, C и B, на продолжениях отложены равные отрезки AD, CE и BF. Докажите, что треугольник DEF – равносторонний.

ВверхВниз   Решение

Из пункта A в другие можно попасть двумя способами: 1) выйти сразу и идти пешком; 2) вызвать машину и, подождав ее определённое время, ехать на ней. В каждом случае используется способ передвижения, требующий меньшего времени. При этом

Скорости пешехода и машины, а также время ожидания машины, принимаются неизменными. Сколько понадобится времени для достижения пункта, отстоящего от A на 6 км?

ВверхВниз   Решение

Решить уравнение:   + = 1.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 99 100 101 102 103 104 105 >> [Всего задач: 1957]      

  с решениями  

Задача 77892

Темы:   [ Взвешивания ]
[ Принцип крайнего (прочее) ]
[ Четность и нечетность ]
[ Системы линейных уравнений ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Имеется 13 гирь, каждая из которых весит целое число граммов. Известно, что любые 12 из них можно так разложить на две чашки весов, по шесть гирь на каждой, что наступит равновесие. Докажите, что все гири имеют один и тот же вес.

Прислать комментарий     Решение

Задача 77904

Тема:   [ Задачи на движение ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Из пункта A в другие можно попасть двумя способами: 1) выйти сразу и идти пешком; 2) вызвать машину и, подождав ее определённое время, ехать на ней. В каждом случае используется способ передвижения, требующий меньшего времени. При этом

Скорости пешехода и машины, а также время ожидания машины, принимаются неизменными. Сколько понадобится времени для достижения пункта, отстоящего от A на 6 км?

Прислать комментарий     Решение

Задача 77908

Темы:   [ Иррациональные уравнения ]
[ Формулы сокращенного умножения (прочее) ]
[ Свойства модуля. Неравенство треугольника ]
[ Уравнения с модулями ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10

Решить уравнение:   + = 1.

Прислать комментарий     Решение

Задача 77910

Темы:   [ Свойства частей, полученных при разрезаниях ]
[ Выпуклые многоугольники ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

В выпуклом 13-угольнике проведены все диагонали. Они разбивают его на многоугольники. Возьмём среди них многоугольник с наибольшим числом сторон. Какое самое большее число сторон может он иметь?
Прислать комментарий     Решение

Задача 77911

Темы:   [ Числовые неравенства. Сравнения чисел. ]
[ Обыкновенные дроби ]
[ Произведения и факториалы ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Докажите, что  

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 99 100 101 102 103 104 105 >> [Всего задач: 1957]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .