Страница: << 206 207 208 209 210 211 212 >> [Всего задач: 2003]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 67021

Темы:   [ Таблицы и турниры (прочее) ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Теория алгоритмов (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Некоторые клетки доски $100 \times 100$ покрашены в чёрный цвет. Во всех строках и столбцах, где есть чёрные клетки, их количество нечётно. В каждой строке, где есть чёрные клетки, поставим красную фишку в среднюю по счёту чёрную клетку. В каждом столбце, где есть чёрные клетки, поставим синюю фишку в среднюю по счёту чёрную клетку. Оказалось, что все красные фишки стоят в разных столбцах, а синие фишки — в разных строках. Докажите, что найдётся клетка, в которой стоят и синяя, и красная фишки.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67032

Темы:   [ Кооперативные алгоритмы ] [ Четность перестановки ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Султан собрал 300 придворных мудрецов и предложил им испытание. Имеются колпаки 25 различных цветов, заранее известных мудрецам. Султан сообщил, что на каждого из мудрецов наденут один из этих колпаков, причём если для каждого цвета написать количество надетых колпаков, то все числа будут различны. Каждый мудрец будет видеть колпаки остальных мудрецов, а свой колпак нет. Затем все мудрецы одновременно огласят предполагаемый цвет своего колпака. Могут ли мудрецы заранее договориться действовать так, чтобы гарантированно хотя бы 150 из них назвали цвет верно?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67313

Темы:   [ Описанные четырехугольники ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Четырехугольник (неравенства) ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Дан описанный четырёхугольник $ABCD$ с тупым углом $ABC$. Лучи $AB$ и $DC$ пересекаются в точке $P$, а лучи $DA$ и $CB$  – в точке $Q$. Докажите, что $|AD - CD| \geq |r_1 - r_2|$, где $r_1$ и $r_2$  – радиусы вписанных окружностей треугольников $PBC$ и $QAB$.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67461

Темы:   [ Параллельность прямых и плоскостей ] [ Объем тетраэдра и пирамиды ] [ Гомотетия помогает решить задачу ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Даны две треугольные пирамиды с общим основанием $ABC$. Их вершины $S$ и $R$ лежат по разные стороны от плоскости $ABC$. Все боковые рёбра одной пирамиды параллельны соответствующим боковым граням другой. Докажите, что объём одной пирамиды вдвое больше объёма другой.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67465

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Неравенство треугольника (прочее) ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Пусть $O$ – центр описанной окружности остроугольного треугольника $ABC$. На стороне $BC$ отметили точку $D$. Окружности, описанные около треугольников $BOD$ и $COD$, повторно пересекают отрезки $AB$ и $AC$ в точках $X$ и $Y$ соответственно. Докажите, что из отрезков $BX$, $XY$ и $YC$ можно сложить треугольник.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 206 207 208 209 210 211 212 >> [Всего задач: 2003]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями