Фильтр
Выбрано 20 задач Убрать все задачи
С помощью циркуля и линейки разделите данный отрезок на n равных частей.
В треугольнике ABC на сторонах AB, AC и BC выбраны точки D, E и F соответственно так, что BF = 2CF, CE = 2AE и угол DEF – прямой.
Докажите, что DE – биссектриса угла ADF.
Пусть $AL$ — биссектриса треугольника $ABC$, точка $D$ — ее середина, $E$ — проекция $D$ на $AB$. Известно, что $AC = 3 AE$. Докажите, что треугольник $CEL$ равнобедренный.
Докажите, что в прямоугольном треугольнике биссектриса, проведённая из вершины прямого угла, не превосходит половины проекции гипотенузы на прямую, перпендикулярную этой биссектрисе.
На сторонах AB и BC треугольника ABC выбраны соответственно точки C1 и A1, отличные от вершин. Пусть K – середина A1C1, а I – центр окружности, вписанной в треугольник ABC. Оказалось, что четырёхугольник A1BC1I вписанный. Докажите, что угол AKC тупой.
Докажите, что если при инверсии относительно некоторой окружности с центром O окружность S переходит в окружность S' , то O — один из центров гомотетии окружностей S и S' .
С помощью циркуля и линейки постройте образ прямой при инверсии относительно данной окружности.
На сторонах AB, BC, CA треугольника ABC выбраны точки P, Q, R соответственно таким образом, что AP = CQ и четырёхугольник RPBQ– вписанный. Касательные к описанной окружности треугольника ABC в точках A и C пересекают прямые RP и RQ в точках X и Y соответственно. Докажите, что RX = RY.
а) В каждой вершине куба написано число 1 или число 0. На каждой грани куба написана сумма четырёх чисел, написанных в вершинах этой грани. Может ли оказаться, что все числа, написанные на гранях, различны?
б) Тот же вопрос, если в вершинах написаны числа 1 или –1.
В сегмент вписываются всевозможные пары касающихся окружностей. Найдите множество их точек касания.
С помощью циркуля и линейки постройте окружность, касающуюся трёх данных попарно пересекающихся окружностей, проходящих через одну точку.
С помощью циркуля и линейки постройте образ данной окружности при инверсии относительно другой данной окружности.
Задача Паппа. III в. н.э.}На отрезке AB взята точка
C и на отрезках AB , BC , CA как на диаметрах построены
соответственно полуокружности α , β , γ по одну сторону от
AC . В криволинейный треугольник, образованный этими
полуокружностями, вписана окружность δ1 , в криволинейный
треугольник, образованный полуокружностями α , β и
окружностью δ1 , вписана окружность δ2 и т.д.
(окружность δn вписана в криволинейный треугольник,
образованный полуокружностями α , β и окружностью
δn-1 , n=2,3, .. ). Пусть rn — радиус окружности
δn , dn — расстояние от центра окружности δn
до прямой AB . Докажите, что = 2n .
Докажите, что если окружность и прямая (либо две окружности) касаются в точке M , отличной от точки O , то их образы при инверсии относительно окружности с центром O также касаются, а при инверсии с центром M окружность и прямая (две окружности) переходят в две параллельные прямые.
С помощью циркуля и линейки постройте окружность, касающуюся двух данных окружностей и проходящую через данную точку, лежащую вне этих окружностей.
В классе 25 учеников. Известно, что у любых двух девочек класса количество друзей-мальчиков из этого класса не совпадает. Какое наибольшее количество девочек может быть в этом классе?
Таня стоит на берегу речки. У неё есть два глиняных кувшина: один — на 5 литров, а про второй Таня помнит лишь то, что он вмещает то ли 3, то ли 4 литра. Помогите Тане определить ёмкость второго кувшина. (Заглядывая в кувшин, нельзя понять, сколько в нём воды.)
Докажите, что при инверсии сохраняется угол между окружностями (между окружностью и прямой, между прямыми).
Доказать, что если 21 человек собрали 200 орехов, то есть два человека, собравшие поровну орехов.
Внутри стороны BC правильного треугольника ABC взята точка D. Прямая, проходящая через точку C и параллельная AD, пересекает прямую AB в точке E. Докажите, что
Задачи Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 45]
Задача 55160 |
|
Докажите,что площадь любого четырёхугольника ABCD не
превосходит
(AB . BC + AD . DC).
|
|
Решение |
Задача 108166 |
|
|
Докажите, что в прямоугольном треугольнике биссектриса, проведённая из вершины прямого угла, не превосходит половины проекции гипотенузы на прямую, перпендикулярную этой биссектрисе.
|
|
Решение |
Задача 115920 |
|
|
Внутри стороны BC правильного треугольника ABC взята точка D. Прямая, проходящая через точку C и параллельная AD, пересекает прямую AB в точке E. Докажите, что
|
|
|
Решение |
Задача 55246 |
|
|
Точка M лежит на стороне AC остроугольного треугольника ABC. Вокруг треугольников ABM и CBM описываются окружности. При каком положении точки M площадь общей части ограниченных ими кругов будет наименьшей?
|
|
|
Решение |
Задача 57482 |
|
|
Докажите, что для прямоугольного треугольника
0, 4 < r/h < 0, 5, где h — высота, опущенная из вершины прямого угла.
|
|
|
Решение |
Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 45]
