В окружность вписан выпуклый 7-угольник. Известно, что какие-то три его угла равны 120^o. Доказать, что найдутся две его стороны, имеющие одинаковую длину.

   Решение

Если число     – целое, то и число     – целое. Доказать.

   Решение

Сколько цифр имеет число 2¹⁰⁰?

   Решение

На стороне AB треугольника ABC отмечена точка K так, что  AB = CK.  Точки N и M – середины отрезков AK и BC соответственно. Отрезки NM и CK пересекаются в точке P. Докажите, что  KN = KP.

   Решение

В трапецию $ABCD$ можно вписать окружность и около неё можно описать окружность. От трапеции остались: вершина $A$, центр вписанной окружности $I$, описанная окружность $\omega$ и ее центр $O$. Восстановите трапецию с помощью одной лишь линейки.

   Решение

Во вписанном четырёхугольнике ABCD известны углы:  ∠DAB = α,  ∠ABC = β,  ∠BKC = γ,  где K – точка пересечения диагоналей. Найдите угол ACD.

   Решение

В трапецию ABCD вписана окружность. Продолжения боковых сторон трапеции AD и BC за точки D и C пересекаются в точке E. Периметр треугольника DCE и основание трапеции AB равны соответственно 60 и 20, угол ADC равен . Найдите радиус окружности.

   Решение

Равнобедренная трапеция с основаниями AD и BC ( AD > BC ) описана около окружности, которая касается стороны CD в точке M . Отрезок AM пересекает окружность в точке N . Найдите отношение AD к BC , если AN:NM = k .

   Решение

Биссектрисы углов A и C трапеции ABCD пересекаются в точке P, а биссектрисы углов B и D – в точке Q, отличной от P.
Докажите, что если отрезок PQ параллелен основанию AD, то трапеция равнобокая.

   Решение

Внутри прямоугольного треугольника ABC (угол B — прямой) взята точка D, причём площади треугольников ABD и BCD соответственно в три и в четыре раза меньше площади треугольника ABC. отрезки AD и DC равны соответственно a и c. Найдите BD.

   Решение

Дана полуокружность с диаметром AB. С помощью циркуля и линейки постройте хорду MN, параллельную AB, так, чтобы трапеция AMNB была описанной.

   Решение

Докажите, что числа    а)  2³²⁰⁰¹ + 1;     б)  2³²⁰⁰¹ – 1   – составные.

   Решение

Два корабля двигаются с постоянными скоростями. Расстояния между ними, измеренные в 12, 14 и 15 часов, равнялись
5, 7 и 2 километра соответственно. Каким было расстояние между кораблями в 13 часов?

   Решение

Докажите, что если в выпуклом пятиугольнике ABCDE  ABC = ∠ADE  и ∠AEC = ∠ADB,  то  ∠BAC = ∠DAE.

   Решение

Найдите наименьшее значение выражения а⁴ – а² – 2а.

   Решение

Страница: << 37 38 39 40 41 42 43 >> [Всего задач: 970]      

Барон Мюнхгаузен попросил задумать непостоянный многочлен P(x) с целыми неотрицательными коэффициентами и сообщить ему только значения P(2) и P(P(2)). Барон утверждает, что он только по этим данным всегда может восстановить задуманный многочлен. Не ошибается ли барон?

Прислать комментарий

Решение

Найдите значение выражения   .

Прислать комментарий

Решение

Могут ли все корни уравнений  x² – px + q = 0  и  x² – (p + 1)x + q = 0  оказаться целыми числами, если:
  а)  q > 0;
  б)  q < 0?

Прислать комментарий

Решение

Коэффициенты квадратного уравнения  ax² + bx + c = 0  удовлетворяют условию  2a + 3b + 6c = 0.
Докажите, что это уравнение имеет корень на интервале  (0, 1).

Прислать комментарий

Решение

В кафе Цветочного города автомат выдаёт пончик, если ввести в него число x, при котором значение выражения  x² – 9x + 13  отрицательно. А если ввести число x, при котором отрицательно значение выражения  x² + x – 5,  то автомат выдаёт сироп. Сможет ли Незнайка, введя в автомат всего одно число, получить и то и другое?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 37 38 39 40 41 42 43 >> [Всего задач: 970]