Версия для печати
Убрать все задачи

---

  а) Квадрат разбит на прямоугольники. Цепочкой называется такое подмножество K множества этих прямоугольников, что существует сторона S квадрата, целиком закрытая проекциями прямоугольников из K, но при этом ни в какую точку S не проектируются внутренние точки двух прямоугольников из K (мы относим к прямоугольнику и его стороны). Доказать, что любые два прямоугольника разбиения входят в некоторую цепочку.

  б) Аналогичная задача для куба, разбитого на прямоугольные параллелепипеды (в определении цепочки нужно заменить сторону на ребро).

   Решение

---

Отрезки $AA', BB'$ и $CC'$ с концами на сторонах остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $P$ внутри треугольника. На каждом из этих отрезков как на диаметре построена окружность, в которой перпендикулярно этому диаметру проведена хорда через точку $P$. Оказалось, что три проведённые хорды имеют одинаковую длину. Докажите, что $P$ – точка пересечения высот треугольника $ABC$.

   Решение

Страница: << 109 110 111 112 113 114 115 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 66834

Темы:   [ Многочлены (прочее) ] [ Многочлен n-й степени имеет не более n корней ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Многочлен  $P(x, y)$  таков, что для всякого целого  $n\geqslant 0$  каждый из многочленов  $P(n, y)$  и  $P(x, n)$  либо тождественно равен нулю, либо имеет степень не выше $n$.
Может ли многочлен  $P(x, x)$ иметь нечётную степень?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66835

Темы:   [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Отрезки $AA', BB'$ и $CC'$ с концами на сторонах остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $P$ внутри треугольника. На каждом из этих отрезков как на диаметре построена окружность, в которой перпендикулярно этому диаметру проведена хорда через точку $P$. Оказалось, что три проведённые хорды имеют одинаковую длину. Докажите, что $P$ – точка пересечения высот треугольника $ABC$.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66843

Темы:   [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Ромбы. Признаки и свойства ] [ Признаки и свойства параллелограмма ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

На диагонали $AC$ ромба $ABCD$ построен параллелограмм $APQC$ так, что точка $B$ лежит внутри него, а сторона $AP$ равна стороне ромба.
Докажите, что $B$ – точка пересечения высот треугольника $DPQ$.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66844

Темы:   [ Многочлены (прочее) ] [ Тождественные преобразования ] [ Уравнения в целых числах ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Целое число $n$ таково, что уравнение  $x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx = n$  имеет решение в целых числах.
Докажите, что тогда и уравнение  $x^2 + y^2 - xy = n$  имеет решение в целых числах.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66845

Темы:   [ Теория игр (прочее) ] [ Шахматные доски и шахматные фигуры ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

На доске 8×8 в клетках a1 и c3 стоят две одинаковые фишки. Петя и Вася ходят по очереди, начинает Петя. В свой ход игрок выбирает любую фишку и сдвигает её либо по вертикали вверх, либо по горизонтали вправо на любое число клеток. Выиграет тот, кто сделает ход в клетку h8. Кто из игроков может действовать так, чтобы всегда выигрывать, как бы ни играл соперник? В одной клетке может стоять только одна фишка, прыгать через фишку нельзя.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 109 110 111 112 113 114 115 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями