Страница: << 369 370 371 372 373 374 375 >> [Всего задач: 2003]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 66616

Тема:   [ Многочлены (прочее) ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

Докажите, что для любого натурального числа $n\geqslant 2$ и для любых действительных чисел $a_1, a_2, \ldots, a_n$, удовлетворяющих условию $a_1+a_2+\ldots+a_n\ne 0$, уравнение \begin{align*} &a_1(x-a_2)(x-a_3)\ldots(x-a_n)+\\+&a_2(x-a_1)(x-a_3)\ldots(x-a_n)+\ldots\\ \ldots+&a_n(x-a_1)(x-a_2)\ldots(x-a_{n-1})=0 \end{align*} имеет хотя бы один действительный корень.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67181

Темы:   [ Неравенство треугольника (прочее) ] [ Повороты на $60^\circ$ и $120^\circ$ ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ]

Сложность: 5 Классы: 7,8,9

На сторонах равностороннего треугольника $ABC$ построены во внешнюю сторону треугольники $AB'C$, $CA'B$, $BC'A$ так, что получился шестиугольник $AB'CA'BC'$, в котором каждый из углов $A'BC'$, $C'AB'$, $B'CA'$ больше $120^\circ$, а для сторон выполняются равенства $AB'=AC'$, $BC'=BA'$, $CA'=CB'$. Докажите, что из отрезков $AB'$, $BC'$, $CA'$ можно составить треугольник.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67182

Тема:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 5 Классы: 7,8,9

На каждую клетку доски $8 \times 8$ поставили по сторожу. Каждый сторож может смотреть в одном из четырёх направлений (вдоль линий доски) и сторожить всех сторожей на линии своего взгляда. Для какого наибольшего $k$ можно так направить взгляды сторожей, чтобы каждого сторожа сторожили не менее $k$ других сторожей?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67185

Темы:   [ Вневписанные окружности ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ] [ Гомотетия помогает решить задачу ]

Сложность: 5 Классы: 8,9,10

Периметр треугольника $ABC$ равен 1. Окружность $\omega$ касается стороны $BC$, продолжения стороны $AB$ в точке $P$ и продолжения стороны $AC$ в точке $Q$. Прямая, проходящая через середины $AB$ и $AC$, пересекает описанную окружность треугольника $APQ$ в точках $X$ и $Y$. Найдите длину отрезка $XY$.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67187

Темы:   [ Разрезания (прочее) ] [ Параллелограммы (прочее) ] [ Векторы помогают решить задачу ] [ Вспомогательная раскраска (прочее) ] [ Подсчет двумя способами ]

Сложность: 5 Классы: 8,9,10

Правильный 100-угольник разрезали на несколько параллелограммов и два треугольника. Докажите, что эти треугольники равны.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 369 370 371 372 373 374 375 >> [Всего задач: 2003]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями