- Наглядная геометрия в пространстве (63 задачи)
- Прямые и плоскости в пространстве (696 задач)
- Сечения, развертки и остовы (337 задач)
- Трехгранные и многогранные углы (53 задачи)
- Тетраэдр и пирамида (909 задач)
- Призма (132 задачи)
- Параллелепипеды (348 задач)
- Многогранники и пространственные многоугольники (80 задач)
- Правильные многогранники (30 задач)
- Сферы (257 задач)
- Круглые тела (190 задач)
- Объем (378 задач)
- Площадь поверхности (66 задач)
- Преобразования пространства (262 задачи)
- Векторы (158 задач)
- Геометрические неравенства (56 задач)
- Построения в пространстве (69 задач)
- Задачи на максимум и минимум (127 задач)
- Геометрические места точек (43 задачи)
- Центр масс и момент инерции (38 задач)
- Выпуклые тела (18 задач)
- Стереометрия (прочее) (33 задачи)
Фильтр
Выбрано 19 задач Убрать все задачи
Верёвочку сложили пополам, потом ещё раз пополам, потом снова пополам, а затем все слои верёвочки разрезали в одном месте.
Какова могла быть длина верёвочки, если известно, что какие-то два из полученных кусков имели длины 9 метров и 4 метра?
Фиксированы две окружности w1 и w2, одна их внешняя касательная l и одна их внутренняя касательная m. На прямой m выбирается точка X, а на прямой L строятся точки Y и Z так, что XY и XZ касаются w1 и w2 соответственно, а треугольник XYZ содержит окружности w1 и w2. Докажите, что центры окружностей, вписанных в треугольники XYZ, лежат на одной прямой.
В треугольнике АВС проведена биссектриса BD. Докажите, что АВ > AD.
Сфера проходит через точки A , B , C , D и пересекает отрезки
SA , SB , SC , SD в точках A1 , B1 , C1 , D1
соответственно. Известно, что SD1 = , DD1 =
, отношение площадей треугольников SA1B1 и SAB
равно
, отношение объёмов пирамид SB1C1D1 и
SBCD равно
, а отношение объёмов пирамид
SA1B1C1 и SABC равно
. Найдите отрезки
SA1 , SB1 , SC1 .
Для некоторых чисел а, b, c и d, отличных от нуля, выполняется равенство: . Найдите знак числа ас.
а) Все вершины пирамиды лежат на гранях куба, но не на его ребрах, причем на каждой грани лежит хотя бы одна вершина. Какое наибольшее количество вершин может иметь пирамида? б) Все вершины пирамиды лежат в плоскостях граней куба, но не на прямых, содержащих его ребра, причем в плоскости каждой грани лежит хотя бы одна вершина. Какое наибольшее количество вершин может иметь пирамида?
Существует ли такое вещественное α, что число cos α иррационально, а все числа cos 2α, cos 3α, cos 4α, cos 5α рациональны?
Фокусник с завязанными глазами выдаёт зрителю пять карточек с номерами от 1 до 5. Зритель прячет две карточки, а три отдаёт ассистенту фокусника. Ассистент указывает зрителю на две из них, и зритель называет номера этих карточек фокуснику (в том порядке, в каком захочет). После этого фокусник угадывает номера карточек, спрятанных у зрителя. Как фокуснику и ассистенту договориться, чтобы фокус всегда удавался?
Найдите все такие простые числа p, q, r и s, что их сумма – простое число. а числа p² + qs и p² + qr – квадраты натуральных чисел. (Числа p, q, r и s предполагаются различными.)
Каждую сторону выпуклого четырёхугольника продолжили в обе стороны и на всех восьми продолжениях отложили равные между собой отрезки. Оказалось, что получившиеся восемь точек – внешние концы построенных отрезков – различны и лежат на одной окружности. Докажите, что исходный четырёхугольник – квадрат.
По шоссе мимо наблюдателя проехали "Москвич", "Запорожец" и двигавшаяся им навстречу "Нива". Известно, что когда с наблюдателем поравнялся "Москвич", то он был равноудалён от "Запорожца" и "Нивы", а когда с наблюдателем поравнялась "Нива", то она была равноудалена от "Москвича" и "Запорожца". Докажите, что "Запорожец" в момент проезда мимо наблюдателя был равноудалён от "Нивы" и "Москвича". (Скорости автомашин считаем постоянными. В рассматриваемые моменты равноудалённые машины находились по разные стороны от наблюдателя.)
Дан равнобедренный треугольник ABC (AB = AC). На меньшей дуге AB описанной около него окружности взята точка D. На продолжении отрезка AD за точку D выбрана точка E так, что точки A и E лежат в одной полуплоскости относительно BC. Описанная окружность треугольника BDE пересекает сторону AB в точке F. Докажите, что прямые EF и BC параллельны.
Про три положительных числа известно, что если выбрать одно из них и прибавить к нему сумму квадратов двух других, то получится одна и та же сумма, независимо от выбранного числа. Верно ли, что все числа равны?
Точки A , B , C , D , E , F лежат на сфере радиуса
. Отрезки AD , BE и CF пересекаются в точке S ,
находящейся на расстоянии 1 от центра сферы. Объёмы пирамид SABC и
SDEF относятся как 1:9, пирамид SABF и SDEC – как 4:9, пирамид
SAEC и SDBF – как 9:4. Найдите отрезки SA , SB , SC .
Даны 2011 ненулевых целых чисел. Известно, что сумма любого из них с произведением оставшихся 2010 чисел отрицательна. Докажите, что если произвольным образом разбить все данные числа на две группы и перемножить числа в группах, то сумма двух полученных произведений также будет отрицательной.
Существует ли такой квадратный трёхчлен P(x) с целыми коэффициентами, что для любого натурального числа n, в десятичной записи которого участвуют одни единицы, число P(n) также записывается одними единицами?
Города A , B , C и D расположены так, что расстояние от C до A меньше, чем расстояние от D до A , а расстояние от C до B меньше, чем расстояние от D до B . Докажите, что расстояние от города C до любой точки прямолинейной дороги, соединяющей города A и B , меньше, чем расстояние от D до этой точки.
Даны положительные числа x, y, z. Докажите неравенство
Две сферы пересечены плоскостью, параллельной их линии центров. Эта плоскость делит площадь поверхности одной сферы в отношении m:1 , а площадь поверхности другой – в отношении n:1 ( m>1 , n>1 ). Найдите отношение радиусов сфер.
Задачи Страница: << 68 69 70 71 72 73 74 >> [Всего задач: 2399]
Задача 111281 |
|
|
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD ( S – вершина)
AB=5 и SA=4 . Через точку A проведена плоскость
α , пересекающая ребро SD и удалённая от точек B и
D на одинаковое расстояние, равное . Найдите длины
отрезков, на которые плоскость α делит ребро SD , если
известно, что α не параллельна прямой BD .
|
|
Решение |
Задача 111369 |
|
|
Докажите, что если в треугольной пирамиде сумма длин противоположных рёбер одна и та же для любой пары таких рёбер, то вершины этой пирамиды являются центрами четырёх шаров, попарно касающихся друг друга.
|
|
|
Решение |
Задача 111401 |
|
|
Два правильных тетраэдра ABCD и MNPQ расположены так, что плоскости BCD и NPQ совпадают, вершина M лежит на высоте AO первого тетраэдра, а плоскость MNP проходит через центр грани ABC и середину ребра BD. Найдите отношение длин рёбер тетраэдров.
|
|
|
Решение |
Задача 111426 |
|
|
Две сферы с центрами O1 и O2 пересечены плоскостью P , перпендикулярной отрезку O1O2 и проходящей через его середину. Плоскость P делит площадь поверхности первой сферы в отношении m:1 , а площадь поверхности второй сферы в отношении n:1 ( m>1 , n>1 ). Найдите отношение радиусов этих сфер.
|
|
|
Решение |
Задача 111428 |
|
|
Две сферы пересечены плоскостью, параллельной их линии центров. Эта плоскость делит площадь поверхности одной сферы в отношении m:1 , а площадь поверхности другой – в отношении n:1 ( m>1 , n>1 ). Найдите отношение радиусов сфер.
|
|
Решение |
Страница: << 68 69 70 71 72 73 74 >> [Всего задач: 2399]
