Тема:
Все темы
>>
Геометрия
>>
Планиметрия
>>
Треугольники
>>
Замечательные точки и линии в треугольнике
>>
Взаимное расположение высот, медиан, биссектрис и проч.
Фильтр
Выбрано 24 задачи Убрать все задачи
При каких p и q уравнению x² + px + q = 0 удовлетворяют два различных числа 2p и p + q?
Каждая сторона равностороннего треугольника разбита на
Пусть $D$ – основание внешней биссектрисы угла $B$ треугольника $ABC$, в котором $AB > BC$. Сторона $AC$ касается вписанной и вневписанной окружностей в точках $K$ и $K_1$ соответственно, точки $I$ и $I_1$ – центры этих окружностей. Прямая $BK$ пересекает $DI_1$ в точке $X$, а $BK_1$ пересекает $DI$ в точке $Y$. Докажите, что $XY \perp AC$.
Плоскость раскрашена в три цвета. Докажите, что
найдутся две точки одного цвета, расстояние между которыми равно 1.
Если при любом положительном p все корни уравнения ax² + bx + c + p = 0 действительны и положительны, то коэффициент a равен нулю. Докажите.
После ввода в строй третьего транспортного кольца на нем запланировали установить ровно 1998 светофоров. Каждую минуту они одновременно меняют цвет по следующему правилу: Каждый светофор меняет цвет в зависимости от цвета двух соседних (справа и слева), причем 1) если два соседних светофора горели одним цветом, то светофор между ними загорается этим же цветом. 2) если два соседних светофора горели разными цветами, то светофор между ними загорается третьим цветом. В начальный момент все светофоры кроме одного были зеленые, а один - красный. Оппоненты Лужкова заявили, что через какое-то время все светофоры будут гореть желтым цветом. Правы ли они?
На клетчатой бумаге даны произвольные n клеток.
Докажите, что из них можно выбрать не менее n/4 клеток,
не имеющих общих точек.
Из конца A диаметра AC окружности опущен перпендикуляр AP на касательную, проведённую через лежащую на окружности точку B, отличную от A и C. Докажите, что AB – биссектриса угла PAC.
При каких a и b многочлен P(x) = (a + b)x5 + abx² + 1 делится на x² – 3x + 2?
Прямая, проведённая через вершину A треугольника ABC
перпендикулярно его медиане BD, делит эту медиану пополам.
Найдите отношение сторон AB и AC.
Дайте геометрическую интерпретацию следующих неравенств:
а) |z + w| ≤ |z| + |w|;
б) |z – w| ≥ ||z| – |w||; в) |z – 1| ≤ |arg z|, если |z| = 1.
Решить уравнение = x.
Докажите, что прямая, проходящая через точки z1 и
z2 – это геометрическое место точек z, для которых =
.
Два угла треугольника равны 10° и 70°. Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведёнными из вершины третьего угла треугольника.
Известно, что уравнение x² + 5bx + c = 0 имеет корни x1 и x2, x1 ≠ x2, а некоторое число является корнем уравнения y² + 2x1y + 2x2 = 0 и корнем уравнения z² + 2x2z + 2x1 = 0. Найти b.
На плоскости отмечено 2000 точек. Можно ли провести прямую, по каждую сторону от которой лежит 1000 точек?
На плоскости лежал куб. Его перекатили несколько раз (через рёбра) так, что куб снова оказался на исходном месте той же гранью вверх.
Могла ли при этом верхняя грань повернуться на 90° относительно своего начального положения?
Исследуйте системы уравнений:
а)
б)
в)
г)
д)
е)
На каждой стороне треугольника ABC отмечены две различные точки. Известно, что это основания высот и биссектрис.
а) Пользуясь только линейкой без делений, определите, где высоты, а где биссектрисы.
б) Решите пункт а), проведя только три прямых.При каком значении a многочлен P(x) = x1000 + ax² + 9 делится на x + 1?
Существует ли выпуклый многогранник, любое сечение которого плоскостью, не проходящей через вершину, является многоугольником с нечетным числом сторон?
К плоскости приклеены два непересекающихся не обязательно одинаковых деревянных круга – серый и чёрный. Дан бесконечный деревянный угол, одна сторона которого серая, а другая – чёрная. Его передвигают так, чтобы круги были снаружи угла, причём серая сторона касалась серого круга, а чёрная – чёрного (касание происходит не в вершине). Докажите, что внутри угла можно нарисовать луч, выходящий из вершины, так, чтобы при всевозможных положениях угла этот луч проходил через одну и ту же точку плоскости.
Медиана AM треугольника ABC перпендикулярна его биссектрисе BK. Найдите AB, если BC = 12.
Задачи Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 39]
Задача 65248 |
|
В остроугольном неравнобедренном треугольнике ABC проведены медиана AM и высота AH. На прямых AB и AC отмечены точки Q и P соответственно так, что QM ⊥ AC и PM ⊥ AB. Описанная окружность треугольника PMQ пересекает прямую BC вторично в точке X. Докажите, что BH = CX.
|
|
Решение |
Задача 53398 |
|
|
Медиана AM треугольника ABC перпендикулярна его биссектрисе BK. Найдите AB, если BC = 12.
|
|
Решение |
Задача 53399 |
|
|
Прямая, проведённая через вершину A треугольника ABC
перпендикулярно его медиане BD, делит эту медиану пополам.
Найдите отношение сторон AB и AC.
|
|
|
Решение |
Задача 53445 |
|
|
Два угла треугольника равны 10° и 70°. Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведёнными из вершины третьего угла треугольника.
|
|
|
Решение |
Задача 108621 |
|
|
В треугольнике ABC биссектриса, проведённая из вершины A, высота, проведённая из вершины B, и серединный перпендикуляр к стороне AB пересекаются в одной точке. Найдите угол при вершине A.
|
|
|
Решение |
Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 39]
