Подтемы:
- Метод координат в пространстве (94 задачи)
- Метод координат на плоскости (113 задач)
- Метод координат (прочее) (1 задача)
Фильтр
Выбрано 22 задачи Убрать все задачи
а) Назовите 10 первых натуральных чисел, имеющих нечётное число делителей (в число делителей включается единица и само число).
б) Попробуйте сформулировать и доказать правило, позволяющее найти следующие такие числа.
Два квадрата расположены так, как показано на рисунке. Докажите, что площади заштрихованных четырёхугольников равны.
Гриб называется плохим, если в нём не менее 10 червей. В лукошке 90 плохих и 10 хороших грибов. Могут ли все грибы стать хорошими после того, как некоторые черви переползут из плохих грибов в хорошие?
На урок физкультуры пришло $12$ детей, все разной силы. Учитель $10$ раз делил их на две команды по $6$ человек, каждый раз новым способом, и проводил состязание по перетягиванию каната. Могло ли оказаться так, что все $10$ раз состязание закончилось вничью (то есть суммы сил детей в командах были равны)?
Что больше: или
Пусть A1, B1 и C1 - основания перпендикуляров, опущенных из точки P на прямые BC, CA и AB. Треугольник A1B1C1 называют подерным (или педальным) треугольником точки P относительно треугольника ABC.
Пусть A1B1C1 — подерный треугольник точки P
относительно треугольника ABC. Докажите, что
B1C1 = BC . AP/2R,
где R — радиус описанной окружности треугольника ABC.
Из точки P опущены перпендикуляры PA1, PB1
и PC1 на стороны треугольника ABC. Прямая la соединяет
середины отрезков PA и B1C1. Аналогично определяются
прямые lb и lc. Докажите, что эти прямые пересекаются в одной
точке.
Потроить треугольник по сторонам a, b и биссектрисе к стороне c lc.
Пусть a и n – натуральные числа, большие 1. Докажите, что если число an + 1 простое, то a чётно и n = 2k.
(Числа вида fk = 22k + 1 называются числами Ферма.)
Можно ли провести из одной точки на плоскости пять лучей так, чтобы среди образованных ими углов было ровно четыре острых?
Рассматриваются углы не только между соседними, но и между любыми двумя лучами.
Докажите, что для любого тетраэдра его самый маленький двугранный угол (из шести) не больше чем двугранный угол правильного тетраэдра.
Плоскость разбита на части несколькими прямыми, среди которых есть непараллельные. Те части, граница которых состоит из двух лучей, закрасили. После этого проведена ещё одна прямая. Докажите, что, независимо от положения новой прямой, по обе стороны от неё найдутся закрашенные точки.
Докажите, что:
а)
ma2 = (2b2 + 2c2 - a2)/4;
б)
ma2 + mb2 + mc2 = 3(a2 + b2 + c2)/4.
На графике многочлена с целыми коэффициентами отмечены две точки с целыми координатами.
Докажите, что если расстояние между ними – целое число, то соединяющий их отрезок параллелен оси абсцисс.
Сфера с центром в точке O проходит через вершины K , L и M
треугольной пирамиды KLMN и пересекает рёбра KN , LN и MN в
точках A , B , C соответственно. Известно, что NL = 14 , KN = 16
и MN:KL = 2:3 . Проекциями точки O на плоскости KLN , LMN и
KMN являются середины рёбер KL , LM и KM соответственно. Расстояние
между серединами рёбер KL и MN равно
. Найдите периметр
треугольника ABC .
В треугольнике ABC точки М и N – середины сторон АС и АВ соответственно. На медиане ВМ выбрана точка Р, не лежащая на CN. Оказалось, что
PC = 2PN. Докажите, что АР = ВС.
Две окружности пересекаются в точках $P$ и $R$. Через точку $P$ проведены прямые $l_1$, $l_2$. Прямая $l_1$ вторично пересекает окружности в точках $A_1$ и $B_1$. Касательные в этих точках к описанной окружности треугольника $A_1RB_1$ пересекаются в точке $C_1$. Прямая $C_1R$ пересекает $A_1B_1$ в точке $D_1$. Аналогично определены точки $A_2$, $B_2$, $C_2$, $D_2$. Докажите, что окружности $D_1D_2P$ и $C_1C_2R$ касаются.
Пусть C – одна из точек пересечения окружностей α и β. Касательная в этой точке к α пересекает β в точке B, а касательная в C к β пересекает α в точке A, причём A и B отличны от C, и угол ACB тупой. Прямая AB вторично пересекает α и β в точках N и M соответственно. Докажите, что 2MN < AB.
В выпуклом 12-угольнике все углы равны. Известно, что длины каких-то десяти его сторон равны 1, а длина ещё одной равна 2. Чему может быть равна площадь этого 12- угольника?
Криволинейный многоугольник – это многоугольник, стороны которого – дуги окружностей. Существуют ли такой криволинейный многоугольник P и такая точка A на его границе, что каждая прямая, проходящая через точку A, делит периметр многоугольника P на два куска равной длины?
На стороне AB треугольника ABC отметили точки K и L так, что KL = BC и AK = LB.
Докажите, что отрезок KL виден из середины M стороны AC под прямым углом.
На плоскости даны две точки A и B. Найдите
ГМТ M, для которых AM : BM = k (окружность Аполлония).
Задачи Страница: << 29 30 31 32 33 34 35 >> [Всего задач: 217]
Задача 54609 |
|
|
Дан треугольник ABC и точка H на прямой AB . Докажите, что CH — высота треугольника ABC тогда и только тогда, когда AC2-BC2=AH2-BH2 .
|
|
Решение |
Задача 57142[Окружность Аполлония] |
|
|
На плоскости даны две точки A и B. Найдите
ГМТ M, для которых AM : BM = k (окружность Аполлония).
|
|
Решение |
Задача 58489 |
|
|
Докажите, что все вписанные в эллипс ромбы описаны вокруг одной окружности.
|
|
|
Решение |
Задача 86113 |
|
|
На графике многочлена с целыми коэффициентами отмечены две точки с целыми координатами.
Докажите, что если расстояние между ними – целое число, то соединяющий их отрезок параллелен оси абсцисс.
|
|
|
Решение |
Задача 87175 |
|
|
Составьте уравнение плоскости, содержащей прямую
= -
= 3-z и параллельную
прямой пересечения плоскостей
4x + 5z - 3 = 0 и 2x + y + 2z = 0 .
|
|
|
Решение |
Страница: << 29 30 31 32 33 34 35 >> [Всего задач: 217]
