Какова наибольшая длина арифметической прогрессии из натуральных чисел a₁, a₂, ..., a_n с разностью 2, обладающей свойством:    – простое при всех  k = 1, 2, ..., n?

   Решение

Среди 18 деталей, выставленных в ряд, какие-то три подряд стоящие весят по 99 г, а все остальные – по 100 г. Двумя взвешиваниями на весах со стрелкой определите все 99-граммовые детали.

   Решение

Точки A , B , C , D , A1 , B1 , C1 , D1 лежат на сфере. Отрезки AA1 , BB1 , CC1 , DD1 пересекаются в точке S , которая делит отрезок DD1 пополам. Известно, что DD1 = 2 , отношение радиусов вписанных окружностей треугольников SB1C и SBC1 равно , отношение объёмов пирамид SABC и SA1B1C1 равно , а отношение объёмов пирамид SA1BD и SAB1D1 равно . Найдите отрезки SA , SB , SC .

   Решение

Докажите, что любая прямая, не параллельная оси ординат, имеет уравнение вида y = kx + l. Число k называется угловым коэффициентом прямой. Угловой коэффициент прямой с точностью до знака равен тангенсу острого угла, который образует прямая с осью x.

   Решение

Для чисел а, b и с, отличных от нуля, выполняется равенство:  a²(b + c – a) = b²(c + a – b) = c²(a + b – c).   Следует ли из этого, что  а = b = c?

   Решение

Изобразите на координатной плоскости множество всех точек, координаты x и у которых удовлетворяют неравенству   .

   Решение

За круглым столом сидят 30 человек – рыцари и лжецы (рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут). Известно, что у каждого из них за этим же столом есть ровно один друг, причём у рыцаря этот друг – лжец, а у лжеца этот друг – рыцарь (дружба всегда взаимна). На вопрос "Сидит ли рядом с вами ваш друг?" сидевшие через одного ответили "Да". Сколько из остальных могли также ответить "Да"?

   Решение

Ребро правильного тетраэдра ABCD равно a . На рёбрах AB и CD взяты точки E и F так, что описанная около тетраэдра сфера пересекает прямую, проходящую через E и F , в точках M и N . Найдите длину отрезка EF , если ME:EF:FN=3:12:4 .

   Решение

В некоторой точке круглого острова радиусом 1 км зарыт клад. На берегу острова стоит математик с прибором, который указывает направление на клад, когда расстояние до клада не превосходит 500 м. Кроме того, у математика есть карта острова, на которой он может фиксировать все свои перемещения, выполнять измерения и геометрические построения. Математик утверждает, что у него есть алгоритм, как добраться до клада, пройдя меньше 4 км. Может ли это быть правдой?

   Решение

Пусть a и a1 , b и b1 , c и c1 – пары противоположных рёбер тетраэдра; α , β и γ соответственно – углы между ними ( α 90^o , β 90^o и γ 90^o ). Докажите, что из трёх величин aa1 cos α , bb1 cos β и cc1 cos γ одна равна сумме двух других.

   Решение

Постройте треугольник по стороне, радиусу вписанной окружности и радиусу вневписанной окружности, касающейся этой стороны. (Исследование проводить не требуется.)

   Решение

На поляне пасутся 150 коз. Поляна разделена изгородями на несколько участков. Ровно в полдень некоторые козы перепрыгнули на другие участки. Пастух подсчитал, что на каждом участке количество коз изменилось, причём ровно в семь раз. Не ошибся ли он?

   Решение

В остроугольном треугольнике проведены высоты AA₁ и BB₁. Докажите, что перпендикуляр, опущенный из точки касания вписанной окружности со стороной BC на прямую AC, проходит через центр вписанной окружности треугольника A₁CB₁.

   Решение

Вписанные окружности граней SBC , SAC и SAB треугольной пирамиды SABC попарно пересекаются и имеют радиусы , и соответственно. Точка K является точкой касания окружностей со стороной SA , причём SK=3 . Найдите длину отрезка AK , периметр и радиус вписанной окружности треугольника ABC .

   Решение

На медианах треугольника как на диаметрах построены три окружности. Известно, что они попарно пересекаются. Пусть C₁ – более удалённая от вершины C точка пересечения окружностей, построенных на медианах AM₁ и BM₂. Точки A₁ и B₁ определяются аналогично. Докажите, что прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке.

   Решение

Вписанные окружности граней SBC , SAC и SAB треугольной пирамиды SABC попарно пересекаются и имеют радиусы , и соответственно. Точка K является точкой касания окружностей со стороной SA , причём SK=5 . Найдите длину отрезка AK , периметр и радиус вписанной окружности треугольника ABC .

   Решение

Высоты тетраэдра пересекаются в одной точке (такой тетраэдр называется ортоцентрическим). Докажите, что точка пересечения медиан, точка пересечения высот и центр описанной сферы лежат на одной прямой.

   Решение

На левую чашу весов положили две круглых монеты, а на правую — ещё одну, так что весы оказались в равновесии. А какая из чаш перевесит, если каждую из монет заменить шаром того же радиуса? (Все шары и монеты изготовлены целиком из одного и того же материала, все монеты имеют одинаковую толщину.)

   Решение

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD ( S – вершина) SA=2AB . Перпендикуляр, опущенный из точки B на ребро SD , пересекает его в точке K . На апофеме SF грани SAB взята точка M так, что SM:SF=4:5 . Сфера с центром на прямой MK , проходит через точки B , K и пересекает прямую AB в точке P , причём BP=d . Найдите длину отрезка AB .

   Решение

В правильной треугольной пирамиде SABC ( S – вершина) на ребре AC взята точка L так, что LC:AC=4:5 . Медианы грани SAB пересекаются в точке K . Сфера, центр которой лежит на прямой KL , проходит через точки B , C и пересекает прямую AB в точке P так, что BP=b . Найдите объём пирамиды SABC , если известно, что радиус сферы равен b .

   Решение

Страница: << 66 67 68 69 70 71 72 >> [Всего задач: 2399]      

Точки A , B , C , D , A1 , B1 , C1 , D1 лежат на сфере. Отрезки AA1 , BB1 , CC1 , DD1 пересекаются в точке S , которая делит отрезок DD1 пополам. Известно, что DD1 = 2 , отношение радиусов вписанных окружностей треугольников SB1C и SBC1 равно , отношение объёмов пирамид SABC и SA1B1C1 равно , а отношение объёмов пирамид SA1BD и SAB1D1 равно . Найдите отрезки SA , SB , SC .

Прислать комментарий

Решение

Ортогональной проекцией правильного тетраэдра на плоскость, параллельную одному из рёбер, является четырёхугольник площади S , у которого отношение наибольшей и наименьшей сторон равно . Найдите площадь поверхности тетраэдра.

Прислать комментарий

Решение

Высоты тетраэдра пересекаются в одной точке (такой тетраэдр называется ортоцентрическим). Докажите, что точка пересечения медиан, точка пересечения высот и центр описанной сферы лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

Пусть a и a1 , b и b1 , c и c1 – пары противоположных рёбер тетраэдра; α , β и γ соответственно – углы между ними ( α 90^o , β 90^o и γ 90^o ). Докажите, что из трёх величин aa1 cos α , bb1 cos β и cc1 cos γ одна равна сумме двух других.

Прислать комментарий

Решение

В правильной треугольной пирамиде SABC ( S – вершина) на ребре AC взята точка L так, что LC:AC=4:5 . Медианы грани SAB пересекаются в точке K . Сфера, центр которой лежит на прямой KL , проходит через точки B , C и пересекает прямую AB в точке P так, что BP=b . Найдите объём пирамиды SABC , если известно, что радиус сферы равен b .

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 66 67 68 69 70 71 72 >> [Всего задач: 2399]