Тема:
Все темы
>>
Геометрия
>>
Планиметрия
>>
Четырехугольники
>>
Трапеции
>>
Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции
Фильтр
Выбрано 34 задачи Убрать все задачи
Дан треугольник ABC, AD и BE — его биссектрисы. Известно, что AC > BC. Доказать, что AE > DE > BD.
На боковых сторонах AB и AC равнобедренного треугольника ABC построены вне его равные треугольники AMB и ANC (AM = AN).
Докажите, что точки M и N симметричны относительно биссектрисы угла BAC.
Радиус окружности равен 13, хорда равна 10. Найдите её расстояние от центра.
В круге с центром O проведена хорда AB. Вычислите площадь получившегося сегмента, если ∠AOB = α, а радиус круга равен r.
Равнобедренный треугольник ABC с основанием BC повернули вокруг точки C так, что его вершина A оказалась в точке A1 на прямой BC. При этом вершина B перешла в некоторую точку B1, лежащую с точкой A по одну сторону от прямой BC. Докажите, что прямые AB и B1C параллельны.
К окружности радиуса 36 проведена касательная из точки, удаленной от центра на расстояние, равное 85. Найдите длину касательной.
Расстояние от точки M до центра O окружности равно диаметру этой окружности. Через точку M проведены две прямые, касающиеся окружности в точках A и B. Найдите углы треугольника AOB.
На шахматной доске размером 8×8 отмечены 64 точки — центры всех клеток. Можно ли отделить все точки друг от друга, проведя 13 прямых, не проходящих через эти точки?
Постройте треугольник, если известны отрезки, на которые вписанная окружность делит его сторону, и радиус вписанной окружности.
Существует ли такой выпуклый 1976-гранник, который обладал бы следующим свойством: при произвольной расстановке стрелок на концах его рёбер сумма полученных векторов отлична от 0?
Из общей точки проведены к окружности две касательные. Радиус окружности равен 11, а сумма касательных равна 120.
Найдите расстояние от центра до общей точки касательных.
Докажите, что высота неравнобедренного прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, меньше половины гипотенузы.
Имеется 1000 монет, среди них 0, 1 или 2 фальшивые. Известно, что фальшивые монеты имеют одинаковую массу, отличную от массы нефальшивых монет. Можно ли за три взвешивания на чашечных весах без гирь определить, есть ли фальшивые монеты и легче они или тяжелее нормальных? (Количество монет определять не надо.)
Докажите, что множество простых чисел вида p = 6k + 5 бесконечно.
Пусть на плоскости есть пять точек общего положения, то есть никакие три из них не лежат на одной прямой и никакие четыре — на одной окружности. Докажите, что среди этих точек есть две такие, что они лежат по разные стороны от окружности, проходящей через оставшиеся три точки.
В государстве имеют хождение монеты в один золотой и в один грош, причём один золотой составляет 1001 грошей.
Можно ли, имея 1986 золотых, купить без сдачи несколько предметов по 1987 грошей?
Доказать, что 3n + 1 не делится на 10100.
В треугольнике ABC проведены медианы AD и BE. Углы CAD и CBE равны 30o. Доказать, что треугольник ABC правильный.
На поле 10 на 10 для игры в "Морской Бой" стоит один четырехпалубный корабль. Какое минимальное число выстрелов надо произвести, чтобы наверняка его ранить?
На всех ребрах куба стоит по числу. На каждой грани (квадрате)
пишется сумма четырех чисел, расположенных на ее ребрах (сторонах квадрата).
Расставьте числа 1 и -1 на ребрах так, чтобы все числа на гранях были различны.
Докажите, что остаток от деления многочлена P(x) на x – c равен P(c).
Можно ли из какой-то точки плоскости провести к графику многочлена n-й степени больше чем n касательных?
Найдите все значения x, удовлетворяющие неравенству (2 – a)x³ + (1 – 2a)x² – 6x + 5 + 4a – a² < 0 хотя бы при одном значении a из отрезка [–1, 2].
Пусть P(x) и Q(x) – многочлены,
причём Q(x) не равен нулю тождественно. Докажите, что существуют
такие многочлены T(x) и R(x), что
P(x) = Q(x)T(x) + R(x) и deg R(x) < degQ(x); при этом T(x) и R(x) определяются однозначно.
Докажите, что многочлен степени n имеет не более чем n корней.
Докажите, что из равенства P(x) = Q(x)T(x) + R(x) следует соотношение (P(x), Q(x)) = (Q(x), R(x)).
Как правило знаков Декарта применить к оценке числа отрицательных корней многочлена f(x) = anxn + ... + a1x + a0?
Пусть P(x) и Q(x) – многочлены, причём Q(x) не равен нулю тождественно и P(x) не делится на Q(x). Докажите, что при некотором s ≥ 1 существуют такие многочлены A0(x), A1(x), ..., As(x) и R1(x), ..., Rs(x), что degQ(x) > degR1(x) > degR2(x) > ... > degRs(x) ≥ 0,
P(x) = Q(x)A0(x) + R1(x),
Q(x) = R1(x)A1(x) + R2(x),
R1(x) = R2(x)A2(x) + R3(x),
...
Rs–2(x) = Rs–1(x)As–1(x) + Rs(x),
Rs–1(x) = Rs(x)As(x)
и (P(x), Q(x)) = Rs(x).
Докажите, что количество положительных корней многочлена f(x) = anxn + ... + a1x + a0 не превосходит числа перемен знака в последовательности an, ..., a1, a0.
Найдите угол при вершине осевого сечения прямого кругового конуса, если известно, что существуют три образующие боковой поверхности конуса, попарно перпендикулярные друг другу.
Найдите все положительные корни уравнения xx + x1–x = x + 1.
Найти все решения системы уравнений
удовлетворяющие условиям 0
Существуют ли в пространстве 4 точки A,B,C,D такие, что AB=CD=8 см; AC=BD=10 см; AB+BC=13 см?
Около окружности описана равнобочная трапеция. Площадь
четырёхугольника с вершинами в точках касания составляет
площади трапеции. Найдите отношение оснований
трапеции.
Задачи Страница: << 39 40 41 42 43 44 45 >> [Всего задач: 293]
Задача 102441 |
|
|
Пусть M – точка пересечения диагоналей выпуклого четырёхугольника ABCD, в котором стороны AB, AD и BC равны между собой.
Найдите угол CMD, если известно, что DM = MC, а ∠CAB ≠ ∠DBA.
|
|
Решение |
Задача 102442 |
|
|
В равнобедренном треугольнике ABC равные стороны AB и CB продолжены за точку B и на этих продолжениях взяты соответственно точки D и E. Отрезки AE, ED и DC равны между собой, а ∠BED ≠ ∠BDE. Найдите угол ABE.
|
|
|
Решение |
Задача 111409 |
|
|
В равнобочной трапеции ABCD угол при основании AD равен α ,
боковая сторона AB равна b . Окружность, касающаяся сторон AB и AD и
проходящая через вершину C , пересекает стороны BC и CD в точках
M и N соответственно. Найдите BM , если = 3 .
|
|
|
Решение |
Задача 111411 |
|
|
В равнобочной трапеции ABCD угол при основании AD равен
arcsin . Окружность радиуса R касается основания
AD , боковой стороны AB и проходит через вершину C . Она отсекает
на сторонах BC и CD отрезки MC и NC соответственно. Найдите BM .
|
|
|
Решение |
Задача 111442 |
|
|
В равнобедренном треугольнике ABC параллельно основанию
AC проведена средняя линия MN . Радиус окружности,
описанной около трапеции ACMN , в
раз больше радиуса окружности, описанной около треугольника
ABC . Найдите углы треугольника ABC .
|
|
|
Решение |
Страница: << 39 40 41 42 43 44 45 >> [Всего задач: 293]
