Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 127 128 129 130 131 132 133 >> [Всего задач: 1957]

Задача 79430

Темы:	[	Алгебраические неравенства (прочее)	]
Темы:	[	Разложение на множители	]

Сложность: 3+
Классы: 9

Доказать, что при любых x > и y > выполняется неравенство x⁴ – x³y + x²y² – xy³ + y⁴ > x² + y².

Прислать комментарий

Решение

Задача 79432

Темы:	[	Десятичная система счисления	]
	[	Формулы сокращенного умножения (прочее)	]
	[	Арифметические действия. Числовые тождества	]

Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Может ли квадрат какого-либо натурального числа начинаться с 1983 девяток?

Прислать комментарий

Решение

Задача 79434

Темы:	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Две пары подобных треугольников	]
	[	Вписанный угол, опирающийся на диаметр	]

Сложность: 3+
Классы: 9

На окружности выбрано пять точек A₁, A₂, A₃, A₄, H. Обозначим через h_ij расстояние от точки H до прямой A_iA_j. Доказать, что h₁₂h₃₄ = h₁₄h₂₃.

Прислать комментарий

Решение

Задача 79435

Темы:	[	Алгебраические неравенства (прочее)	]
Темы:	[	Формулы сокращенного умножения (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 10

Доказать, что при любой расстановке знаков "+" и "−" у нечётных степеней x выполнено неравенство
x²ⁿ ± x^2n–1 + x^2n–2 ± x^2n–3 + ... + x⁴ ± x³ + x² ± x + 1 > ½ (x – произвольное действительное число, а n – натуральное).

Прислать комментарий

Решение

Задача 79441

Темы:	[	Геометрические интерпретации в алгебре	]
	[	Правильные многоугольники	]
	[	Тождественные преобразования (тригонометрия)	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

На доске после занятия осталась запись:

"Вычислить t(0) − t(^π/₅) + t(^2π/₅) − t(^3π/₅) + ... + t(^8π/₅) − t(^9π/₅), где t(x) = cos5x + *cos4x + *cos3x + *cos2x + *cosx + *".
Увидев её, студент мехмата сказал товарищу, что он может вычислить эту сумму, даже не зная значений стёртых с доски коэффициентов (вместо них в нашей записи *). Не ошибается ли он?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 127 128 129 130 131 132 133 >> [Всего задач: 1957]