Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Тема: Все темы >> Геометрия >> Стереометрия
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 18 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Пусть движение плоскости переводит фигуру F в фигуру F'. Для каждой пары соответственных точек A и A' рассмотрим середину X отрезка AA'. Докажите, что либо все точки X совпадают, либо все они лежат на одной прямой, либо образуют фигуру, подобную F.

Вниз   Решение

Шестиугольник ABCDEF вписан в окружность радиуса R, причем AB = CD = EF = R. Докажите, что середины сторон BC, DE и FA образуют правильный треугольник.

ВверхВниз   Решение

Правильные треугольники ABC, CDE, EHK (вершины обходятся в направлении против часовой стрелки) расположены на плоскости так, что $ \overrightarrow{AD}$ = $ \overrightarrow{DK}$. Докажите, что треугольник BHD тоже правильный.

ВверхВниз   Решение

Доказать, что  22n–1 + 3n + 4  делится на 9 при любом n.

ВверхВниз   Решение

а)  sin$ \alpha$ + sin$ \beta$ + sin$ \gamma$ $ \leq$ 3$ \sqrt{3}$/2;
б)  cos($ \alpha$/2) + cos($ \beta$/2) + cos($ \gamma$/2) $ \leq$ 3$ \sqrt{3}$/2.

ВверхВниз   Решение

Несколько кругов одного радиуса положили на стол так, что никакие два не перекрываются. Докажите, что круги можно раскрасить в четыре цвета так, что любые два касающихся круга будут разного цвета.

ВверхВниз   Решение

Докажите, что композицию чётного числа симметрий относительно прямых нельзя представить в виде композиции нечётного числа симметрий относительно прямых.

ВверхВниз   Решение

Триангуляцией многоугольника называют его разбиение на треугольники, обладающее тем свойством, что эти треугольники либо имеют общую сторону, либо имеют общую вершину, либо не имеют общих точек (т. е. вершина одного треугольника не может лежать на стороне другого). Докажите, что треугольники триангуляции можно раскрасить в три цвета так, что имеющие общую сторону треугольники будут разного цвета.

ВверхВниз   Решение

Докажите, что любое движение плоскости является композицией не более чем трех симметрий относительно прямых.

ВверхВниз   Решение

Докажите, что для любого натурального n  10n + 18n – 1  делится на 27.

ВверхВниз   Решение

Каждая из трех прямых делит площадь фигуры пополам. Докажите, что часть фигуры, заключенная внутри треугольника, образованного этими прямыми, имеет площадь, не превосходящую 1/4 площади всей фигуры.

ВверхВниз   Решение

Даны три прямые a, b, c. Пусть T = SaoSboSc. Докажите, что ToT — параллельный перенос (или тождественное отображение).

ВверхВниз   Решение

Даны точки A и B и окружность S. Постройте на окружности S такие точки C и D, что AC| BD и дуга CD имеет данную величину $ \alpha$.

ВверхВниз   Решение

а) Через точку P проводятся всевозможные секущие окружности S. Найдите геометрическое место точек пересечения касательных к окружности S, проведенных в двух точках пересечения окружности с секущей.
б) Через точку P проводятся всевозможные пары секущих AB и CD окружности S (A, B, C, D — точки пересечения с окружностью). Найдите геометрическое место точек пересечения прямых AC и BD.

ВверхВниз   Решение

Авторы: Гуровиц В.М., Френкин Б.Р.

Существует ли выпуклый многоугольник, у которого каждая сторона равна какой-нибудь диагонали, а каждая диагональ– какой-нибудь стороне?

ВверхВниз   Решение

Автор: Кожевников П.А.

 Фиксированы окружность, точка A на ней и точка K вне окружности. Секущая, проходящая через K, пересекает окружность в точках P и Q. Докажите, что ортоцентры треугольников APQ лежат на фиксированной окружности.

ВверхВниз   Решение

Автор: Фольклор

Доказать, что из 17 различных натуральных чисел либо найдутся пять таких чисел a, b, c, d, e, что каждое из чисел этой пятёрки, кроме последнего, делится на число, стоящее за ним, либо найдутся пять таких чисел, что ни одно из них не делится на другое.

ВверхВниз   Решение

Автор: Канель-Белов А.Я.

На сфере отмечено пять точек, никакие три из которых не лежат на большой окружности (большая окружность – это окружность, по которой пересекаются сфера и плоскость, проходящая через её центр). Две большие окружности, не проходящие через отмеченные точки, называются эквивалентными, если одну из них с помощью непрерывнвого перемещения по сфере можно перевести в другую так, что в процессе перемещения окружность не проходит через отмеченные точки.
  а) Сколько можно нарисовать окружностей, не проходящих через отмеченные точки и не эквивалентных друг другу?
  б) Та же задача для n отмеченных точек.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 69 70 71 72 73 74 75 >> [Всего задач: 2399]      

  с решениями  

Задача 111611

Темы:   [ Правильный тетраэдр ]
[ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Ребро правильного тетраэдра ABCD равно a . На рёбрах AB и CD взяты точки E и F так, что описанная около тетраэдра сфера пересекает прямую, проходящую через E и F , в точках M и N . Найдите длину отрезка EF , если ME:EF:FN=3:12:4 .
Прислать комментарий     Решение

Задача 111613

Темы:   [ Правильный тетраэдр ]
[ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Ребро правильного тетраэдра ABCD равно a . На рёбрах AB и CD взяты соответственно точки E и F так, что вписанная в тетраэдр сфера делит отрезок EF , на три части, длины которых относятся как 3:5:4, считая от точки E . Найдите длину отрезка EF .
Прислать комментарий     Решение

Задача 115390

Темы:   [ Свойства гомотетии и центра гомотетии ]
[ Неравенства с объемами ]
[ Площадь сферы и ее частей ]
[ Объем шара, сегмента и проч. ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Автор: Гальперин Г.А.

На левую чашу весов положили две круглых монеты, а на правую — ещё одну, так что весы оказались в равновесии. А какая из чаш перевесит, если каждую из монет заменить шаром того же радиуса? (Все шары и монеты изготовлены целиком из одного и того же материала, все монеты имеют одинаковую толщину.)
Прислать комментарий     Решение

Задача 115946

Тема:   [ Многогранники и многоугольники (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Докажите что в выпуклом многограннике есть две грани с одинаковым числом сторон.
Прислать комментарий     Решение

Задача 98098

Темы:   [ Окружности на сфере ]
[ Отношение эквивалентности. Классы эквивалентности ]
[ Системы отрезков, прямых и окружностей ]
[ Разные задачи на разрезания ]
Сложность: 4+
Классы: 10,11

Автор: Канель-Белов А.Я.

На сфере отмечено пять точек, никакие три из которых не лежат на большой окружности (большая окружность – это окружность, по которой пересекаются сфера и плоскость, проходящая через её центр). Две большие окружности, не проходящие через отмеченные точки, называются эквивалентными, если одну из них с помощью непрерывнвого перемещения по сфере можно перевести в другую так, что в процессе перемещения окружность не проходит через отмеченные точки.
  а) Сколько можно нарисовать окружностей, не проходящих через отмеченные точки и не эквивалентных друг другу?
  б) Та же задача для n отмеченных точек.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 69 70 71 72 73 74 75 >> [Всего задач: 2399]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .