Тема:
Все темы
>>
Геометрия
>>
Планиметрия
>>
Окружности
>>
Вписанный угол
>>
Величина угла между двумя хордами и двумя секущими
Фильтр
Выбрана 31 задача Убрать все задачи
Докажите, что из боковых граней четырёхугольной пирамиды, основанием которой служит параллелограмм, можно составить треугольную пирамиду, причём её объём вдвое меньше объёма исходной четырёхугольной пирамиды.
Окружность, проходящая через вершины $B$ и $D$ четырехугольника $ABCD$, пересекает его стороны $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$ в точках $K$, $L$, $M$ и $N$ соответственно. Окружность, проходящая через точки $K$ и $M$, пересекает прямую $AC$ в точках $P$ и $Q$. Докажите, что точки $L$, $N$, $P$ и $Q$ лежат на одной окружности.
а) На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC
(или на их продолжениях) взяты точки A1, B1 и C1, отличные
от вершин треугольника. Докажите, что описанные окружности
треугольников
AB1C1, A1BC1 и A1B1C пересекаются
в одной точке.
б) Точки A1, B1 и C1 перемещаются по прямым BC, CA
и AB так, что все треугольники A1B1C1 подобны одному
и тому же треугольнику. Докажите, что точка пересечения
описанных окружностей треугольников
AB1C1, A1BC1 и A1B1C
остается при этом неподвижной. (Треугольники предполагаются
не только подобными, но и одинаково ориентированными.)
В треугольник, у которого основание равно 30, а высота – 10, вписан прямоугольный равнобедренный треугольник так, что его гипотенуза параллельна основанию данного треугольника, а вершина прямого угла лежит на этом основании. Найдите гипотенузу.
Докажите, что площадь проекции куба с ребром 1 на любую плоскость численно равна длине его проекции на прямую, перпендикулярную этой плоскости.
Докажите, что если четырёхугольник вписан в окружность, то сумма произведений длин двух пар его противоположных сторон равна произведению длин его диагоналей.
Точки A, B, C лежат на прямой l, а точки A1, B1, C1 — на прямой l1. Докажите, что точки пересечения
прямых AB1 и BA1, BC1 и CB1, CA1 и AC1 лежат на
одной прямой (Папп).
Можно ли из какой-то точки плоскости провести к графику многочлена n-й степени больше чем n касательных?
Докажите, что прямая, проходящая через середины оснований трапеции, разбивает её на две равновеликие части.
Внутри треугольника ABC взята точка X. Прямые AX, BX и
CX пересекают стороны треугольника в точках A1, B1 и
C1. Докажите, что если описанные окружности треугольников
AB1C1, A1BC1 и A1B1C пересекаются в точке X, то
X — точка пересечения высот треугольника ABC.
На листе бумаги нарисован выпуклый многоугольник M периметра P и площади S. Закрасили каждый круг радиуса R с центром в каждой точке, лежащей внутри этого многоугольника. Найдите площадь закрашенной фигуры.
Окружность разделена точками A, B, C, D так, что ⌣AB : ⌣ BC : ⌣ CD : ⌣ DA = 3 : 2 : 13 : 7. Хорды AD и BC продолжены до пересечения в точке M.
Найдите угол AMB.
Угол между плоскостями равен α . Найдите площадь ортогональной проекции правильного шестиугольника со стороной 1, лежащего в одной из плоскостей, на другую плоскость.
В треугольнике ABC сторона BC равна полусумме двух других сторон. Доказать, что биссектриса угла A перпендикулярна отрезку, соединяющему центры вписанной и описанной окружностей треугольника.
Стороны выпуклого многоугольника, периметр которого равен 12, отодвигаются на расстояние d = 1 во внешнюю сторону. Доказать, что площадь многоугольника увеличится по крайней мере на 15.
Четыре дома расположены по окружности. Где надо вырыть колодец, чтобы сумма расстояний от домов до колодца была наименьшей?
Периметр треугольника ABC равен 8. В треугольник вписана окружность и к ней проведена касательная, параллельная стороне AB. Отрезок этой касательной, заключённый между сторонами AC и CB, равен 1. Найдите сторону AB.
На трех отрезках OA, OB и OC одинаковой длины
(точка B лежит внутри угла AOC) как на диаметрах
построены окружности. Докажите, что площадь криволинейного
треугольника, ограниченного дугами этих окружностей
и не содержащего точку O, равна половине площади
(обычного) треугольника ABC.
Точка M лежит на описанной окружности
треугольника ABC; R — произвольная точка. Прямые AR, BR и CR
пересекают описанную окружность в точках A1, B1 и C1. Докажите,
что точки пересечения прямых MA1 и BC, MB1 и CA, MC1
и AB лежат на одной прямой, проходящей через точку R.
Многоугольник имеет центр симметрии O. Докажите, что сумма расстояний
до вершин минимальна для точки O.
Внутри угла расположены три окружности S1, S2, S3, каждая из которых касается двух сторон угла, причем окружность S2 касается внешним образом окружностей S1 и S3. Известно, что радиус окружности S1 равен 1, а радиус окружности S3 равен 9. Чему равен радиус окружности радиус окружности S2?
Докажите, что касательная к графику функции f (x), построенная в точке с координатами (x0;f (x0)) пересекает ось Ox в точке с координатой
Метод Ньютона (см. задачу
9.77) не всегда позволяет приблизиться
к корню уравнения f (x) = 0. Для многочлена
f (x) = x(x - 1)(x + 1)
найдите начальное условие x0 такое, что
f (x0)x0 и
x2 = x0.
Стороны треугольника равны 5, 6 и 7. Найдите площадь ортогональной проекции треугольника на плоскость, которая образует с плоскостью треугольника угол, равный наименьшему углу этого треугольника.
Докажите, что сумма диагоналей выпуклого четырёхугольника меньше его периметра, но больше полупериметра.
Постройте ромб, две стороны которого лежат на
двух данных параллельных прямых, а две другие проходят через две данные
точки.
С помощью циркуля и линейки проведите через данную точку прямую, пересекающую две стороны данного треугольника так, чтобы точки пересечения и концы третьей стороны находились на одной окружности.
Докажите, что медианы треугольника ABC пересекаются в одной
точке и делятся ею в отношении 2 : 1, считая от вершины.
Дан остроугольный треугольник ABC. Его покрывают тремя кругами, центры которых лежат в вершинах, а радиусы равны высотам, проведённым из этих вершин. Доказать, что каждая точка треугольника покрыта хотя бы одним из кругов.
Даны два треугольника $ABC$ и $A'B'C'$. Прямые $AB$ и $A'B'$ пересекаются в точке $C_1$, а параллельные им прямые, проходящие через $C$ и $C'$, соответственно, в точке $C_2$. Точки $A_1$, $A_2$, $B_1$, $B_2$ определяются аналогично. Докажите, что прямые $A_1A_2$, $B_1B_2$, $C_1C_2$ пересекаются в одной точке.
На окружности даны точки A, B, C, D в указанном
порядке. M — середина дуги AB. Обозначим точки пересечения
хорд MC и MD с хордой AB через E и K. Докажите,
что KECD — вписанный четырехугольник.
Задачи Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 65]
Задача 52586 |
|
|
Окружность разделена точками A, B, C, D так, что ⌣AB : ⌣BC : ⌣CD : ⌣DA = 2 : 3 : 5 : 6.
Проведены хорды AC и BD, пересекающиеся в точке M.
Найдите угол AMB.
|
|
Решение |
Задача 52598 |
|
|
Окружность разделена точками A, B, C, D так, что ⌣AB : ⌣ BC : ⌣ CD : ⌣ DA = 3 : 2 : 13 : 7. Хорды AD и BC продолжены до пересечения в точке M.
Найдите угол AMB.
|
|
Решение |
Задача 56555 |
|
|
На окружности даны точки A, B, C, D в указанном
порядке. M — середина дуги AB. Обозначим точки пересечения
хорд MC и MD с хордой AB через E и K. Докажите,
что KECD — вписанный четырехугольник.
|
|
|
Решение |
Задача 56536 |
|
|
а) Из точки A, лежащей вне окружности, выходят лучи AB и AC, пересекающие эту окружность. Докажите, что величина угла BAC равна полуразности угловых величин дуг окружности, заключенных внутри этого угла.
б) Вершина угла BAC расположена внутри окружности. Докажите, что величина угла BAC равна полусумме угловых величин дуг окружности, заключенных внутри угла BAC и внутри угла, симметричного ему относительно вершины A.
|
|
|
Решение |
Задача 52605 |
|
|
Внутри данной окружности находится другая окружность. CAE и DBF - две хорды большей окружности (не пересекающиеся), касающиеся меньшей окружности в точках A и B;CND, EPF - дуги между концами хорд. Найдите угловую величину дуги CND, если дуги AMB и EPF содержат соответственно 154o и 70o.
|
|
|
Решение |
Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 65]
