Дана треугольная пирамида $SABC$, основание которой – равносторонний треугольник $ABC$, а все плоские углы при вершине $S$ равны $\alpha$. При каком наименьшем $\alpha$ можно утверждать, что эта пирамида правильная?

   Решение

Сторона треугольника равна 2, а две другие стороны образуют угол в 30^o и относятся как 1 : 2. Найдите эти стороны.

   Решение

Прямая l перпендикулярна одной из медиан треугольника. Серединные перпендикуляры к сторонам этого треугольника пересекают прямую l в трёх точках. Докажите, что одна из них является серединой отрезка, образованного двумя оставшимися.

   Решение

В треугольнике ABC угол A равен  120^o. Докажите, что из отрезков длиной a, b, b + c можно составить треугольник.

   Решение

Два отрезка AB и CD пересекаются в точке O, которая является серединой каждого из них. Докажите равенство треугольников ACD и BDC.

   Решение

Пусть P – основание перпендикуляра, опущенного из вершины C меньшего основания BC равнобедренной трапеции ABCD на её большее основание AD. Найдите DP и AP, если основания трапеции равны a и b  (a > b).

   Решение

Точка P лежит на описанной окружности треугольника ABC. Построим треугольник A₁B₁C₁, стороны которого параллельны отрезкам PA, PB, PC
(B₁C₁ || PA,  C₁A₁ || PB,  A₁B₁ || PC). Через точки A₁, B₁, C₁ проведены прямые, параллельные соответственно BC, CA и AB. Докажите, что эти прямые пересекаются в точке, лежащей на описанной окружности треугольника A₁B₁C₁.

   Решение

Четырёхугольник АВСD – вписанный. Лучи АВ и DС пересекаются в точке M, а лучи ВС и AD – в точке N. Известно, что  ВМ = DN.
Докажите, что  CM = CN.

   Решение

Расстояния от концов диаметра окружности до некоторой касательной равны a и b. Найдите радиус окружности.

   Решение

По заданному ненулевому x значение x⁸ можно найти за три арифметических действия: x² = x · x, x⁴ = x² · x², x⁸ = x⁴ · x⁴, а x¹⁵ — за пять действий: первые три — те же самые, затем x⁸ · x⁸ = x¹⁶ и x¹⁶ : x = x¹⁶. Докажите, что

а) x¹⁶ можно найти за 12 действий (умножений и делений);

б) для любого натурального n возвести x в n-ю степень можно не более чем за 1 + 1,5 · log₂n действий.

   Решение

В прямоугольном треугольнике ABC катет AC = 15 и катет BC = 20. На гипотенузе AB отложен отрезок AD, равный 4, и точка D соединена с C. Найдите CD.

   Решение

В прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной 26, вписана окружность радиуса 4. Найдите периметр треугольника.

   Решение

Существуют 1000 последовательных натуральных чисел, среди которых нет ни одного простого числа (например,  1001! + 2,  1001! + 3, ...,   1001! + 1001).
А существуют ли 1000 последовательных натуральных чисел, среди которых ровно пять простых чисел?

   Решение

Периметр треугольника равен 28, середины сторон соединены отрезками. Найдите периметр полученного треугольника.

   Решение

На сторонах AB и CB треугольника ABC откладываются равные отрезки произвольной длины AD и CE. Найти геометрическое место середин отрезков DE.

   Решение

Через точку D, взятую на стороне AB треугольника ABC, проведена прямая, параллельная AC и пересекающая сторону BC в точке E.
Докажите, что прямые AE, CD и медиана, проведённая из вершины B, пересекаются в одной точке.

   Решение

Меньшее основание равнобедренной трапеции равно боковой стороне, а диагональ перпендикулярна боковой стороне. Найдите углы трапеции.

   Решение

Докажите, что окружности, описанные около трёх треугольников, отсекаемых от остроугольного треугольника средними линиями, имеют общую точку.

   Решение

Страница: << 60 61 62 63 64 65 66 >> [Всего задач: 330]      

В четырёхугольнике ABCD стороны AB, BC и CD равны, M – середина стороны AD. Известно, что  ∠BMC = 90°.
Найдите угол между диагоналями четырёхугольника ABCD.

Прислать комментарий

Решение

В остроугольном неравнобедренном треугольнике ABC проведены высоты AA₁, BB₁, CC₁ и отмечены точки A₂, B₂, C₂, в которых вневписанные окружности касаются сторон BC, CA, AB соответственно. Прямая B₁C₁ касается вписанной окружности треугольника. Докажите, что точка A₁ лежит на описанной окружности треугольника A₂B₂C₂.

Прислать комментарий

Решение

Дан остроугольный треугольник ABC. На сторонах AB и BC во внешнюю сторону построены равные прямоугольники ABMN и LBCK так, что  AB = KC.
Докажите, что прямые AL, NK и MC пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

Биссектрисы BB₁ и CC₁ треугольника ABC пересекаются в точке I. Прямая B₁C₁ пересекает описанную окружность треугольника ABC в точках M и N.
Докажите, что радиус описанной окружности треугольника MIN вдвое больше радиуса описанной окружности треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

Прямая касается окружности в точке A. На прямой выбрали точку B и повернули отрезок AB на некоторый угол вокруг центра окружности, получив отрезок A'B'. Докажите, что прямая, проходящая через точки касания A и A', делит пополам отрезок BB'.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 60 61 62 63 64 65 66 >> [Всего задач: 330]