Версия для печати
Убрать все задачи

---

а) Назовите 10 первых натуральных чисел, имеющих нечётное число делителей (в число делителей включается единица и само число).

б) Попробуйте сформулировать и доказать правило, позволяющее найти следующие такие числа.

   Решение

---

Два квадрата расположены так, как показано на рисунке. Докажите, что площади заштрихованных четырёхугольников равны.

   Решение

---

Гриб называется плохим, если в нём не менее 10 червей. В лукошке 90 плохих и 10 хороших грибов. Могут ли все грибы стать хорошими после того, как некоторые черви переползут из плохих грибов в хорошие?

   Решение

---

На урок физкультуры пришло $12$ детей, все разной силы. Учитель $10$ раз делил их на две команды по $6$ человек, каждый раз новым способом, и проводил состязание по перетягиванию каната. Могло ли оказаться так, что все $10$ раз состязание закончилось вничью (то есть суммы сил детей в командах были равны)?

   Решение

---

Что больше:     или  

   Решение

---

Пусть A₁, B₁ и C₁ - основания перпендикуляров, опущенных из точки P на прямые BC, CA и AB. Треугольник A₁B₁C₁ называют подерным (или педальным) треугольником точки P относительно треугольника ABC.
Пусть A₁B₁C₁ — подерный треугольник точки P относительно треугольника ABC. Докажите, что  B₁C₁ = BC ^. AP/2R, где R — радиус описанной окружности треугольника ABC.

   Решение

---

Из точки P опущены перпендикуляры PA₁, PB₁ и PC₁ на стороны треугольника ABC. Прямая l_a соединяет середины отрезков PA и B₁C₁. Аналогично определяются прямые l_b и l_c. Докажите, что эти прямые пересекаются в одной точке.

   Решение

---

Потроить треугольник по сторонам a, b и биссектрисе к стороне c l_c.

   Решение

---

Пусть a и n – натуральные числа, большие 1. Докажите, что если число  aⁿ + 1  простое, то a чётно и  n = 2^k.
(Числа вида  f_k = 2^2k + 1  называются числами Ферма.)

   Решение

---

Можно ли провести из одной точки на плоскости пять лучей так, чтобы среди образованных ими углов было ровно четыре острых?
Рассматриваются углы не только между соседними, но и между любыми двумя лучами.

   Решение

---

Докажите, что для любого тетраэдра его самый маленький двугранный угол (из шести) не больше чем двугранный угол правильного тетраэдра.

   Решение

---

Плоскость разбита на части несколькими прямыми, среди которых есть непараллельные. Те части, граница которых состоит из двух лучей, закрасили. После этого проведена ещё одна прямая. Докажите, что, независимо от положения новой прямой, по обе стороны от неё найдутся закрашенные точки.

Пример расположения прямых (без последней прямой) изображен на рисунке.

   Решение

---

Докажите, что:
а)  m_a² = (2b² + 2c² - a²)/4;
б)  m_a² + m_b² + m_c² = 3(a² + b² + c²)/4.

   Решение

---

На графике многочлена с целыми коэффициентами отмечены две точки с целыми координатами.
Докажите, что если расстояние между ними – целое число, то соединяющий их отрезок параллелен оси абсцисс.

   Решение

---

Сфера с центром в точке O проходит через вершины K , L и M треугольной пирамиды KLMN и пересекает рёбра KN , LN и MN в точках A , B , C соответственно. Известно, что NL = 14 , KN = 16 и MN:KL = 2:3 . Проекциями точки O на плоскости KLN , LMN и KMN являются середины рёбер KL , LM и KM соответственно. Расстояние между серединами рёбер KL и MN равно . Найдите периметр треугольника ABC .

   Решение

---

В треугольнике ABC точки М и N – середины сторон АС и АВ соответственно. На медиане ВМ выбрана точка Р, не лежащая на CN. Оказалось, что
PC = 2PN.  Докажите, что  АР = ВС.

   Решение

---

Две окружности пересекаются в точках $P$ и $R$. Через точку $P$ проведены прямые $l_1$, $l_2$. Прямая $l_1$ вторично пересекает окружности в точках $A_1$ и $B_1$. Касательные в этих точках к описанной окружности треугольника $A_1RB_1$ пересекаются в точке $C_1$. Прямая $C_1R$ пересекает $A_1B_1$ в точке $D_1$. Аналогично определены точки $A_2$, $B_2$, $C_2$, $D_2$. Докажите, что окружности $D_1D_2P$ и $C_1C_2R$ касаются.

   Решение

---

Пусть C – одна из точек пересечения окружностей α и β. Касательная в этой точке к α пересекает β в точке B, а касательная в C к β пересекает α в точке A, причём A и B отличны от C, и угол ACB тупой. Прямая AB вторично пересекает α и β в точках N и M соответственно. Докажите, что  2MN < AB.

   Решение

---

В выпуклом 12-угольнике все углы равны. Известно, что длины каких-то десяти его сторон равны 1, а длина ещё одной равна 2. Чему может быть равна площадь этого 12- угольника?

   Решение

---

Криволинейный многоугольник – это многоугольник, стороны которого – дуги окружностей. Существуют ли такой криволинейный многоугольник P и такая точка A на его границе, что каждая прямая, проходящая через точку A, делит периметр многоугольника P на два куска равной длины?

   Решение

---

На стороне AB треугольника ABC отметили точки K и L так, что  KL = BC  и  AK = LB.
Докажите, что отрезок KL виден из середины M стороны AC под прямым углом.

   Решение

---

На плоскости даны две точки A и B. Найдите ГМТ M, для которых AM : BM = k (окружность Аполлония).

   Решение

---

В плоскости даны квадрат с последовательно расположенными вершинами A, B, C, D и точка O, лежащая вне квадрата. Известно, что AO = OB = 5 и OD = . Найдите площадь квадрата.

   Решение

Страница: << 50 51 52 53 54 55 56 >> [Всего задач: 2254]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 54320

Темы:   [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Площадь трапеции ] [ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Одно из оснований трапеции служит диаметром окружности радиуса R, а другое является хордой и отсекает от окружности дугу в радиан ( 0 < < ). Найдите площадь трапеции.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 54409

Темы:   [ Ромбы. Признаки и свойства ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Периметр ромба равен 48, а сумма диагоналей равна 26. Найдите площадь ромба.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 54433

Тема:   [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

В плоскости даны квадрат с последовательно расположенными вершинами A, B, C, D и точка O, лежащая вне квадрата. Известно, что AO = OB = 5 и OD = . Найдите площадь квадрата.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 54435

Тема:   [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Пусть A, B, C, D - последовательные вершины квадрата, а точка O расположена внутри квадрата. Известно, что OC = OD = и OB = . Найдите площадь квадрата.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 54621

Темы:   [ Ромбы. Признаки и свойства ] [ Построение треугольников по различным элементам ] [ Подобные треугольники и гомотетия (построения) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

С помощью циркуля и линейки постройте ромб по данному отношению диагоналей и данной стороне.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 50 51 52 53 54 55 56 >> [Всего задач: 2254]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями