Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все источники >> Книги, журналы >> Прасолов В.В., Задачи по планиметрии >> глава 5. Треугольники
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 38 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Дан треугольник ABC, AD и BE — его биссектрисы. Известно, что AC > BC. Доказать, что AE > DE > BD.

Вниз   Решение

На боковых сторонах AB и AC равнобедренного треугольника ABC построены вне его равные треугольники AMB и ANC  (AM = AN).
Докажите, что точки M и N симметричны относительно биссектрисы угла BAC.

ВверхВниз   Решение

Радиус окружности равен 13, хорда равна 10. Найдите её расстояние от центра.

ВверхВниз   Решение

В круге с центром O проведена хорда AB. Вычислите площадь получившегося сегмента, если  ∠AOB = α,  а радиус круга равен r.

ВверхВниз   Решение

Равнобедренный треугольник ABC с основанием BC повернули вокруг точки C так, что его вершина A оказалась в точке A1 на прямой BC. При этом вершина B перешла в некоторую точку B1, лежащую с точкой A по одну сторону от прямой BC. Докажите, что прямые AB и B1C параллельны.

ВверхВниз   Решение

К окружности радиуса 36 проведена касательная из точки, удаленной от центра на расстояние, равное 85. Найдите длину касательной.

ВверхВниз   Решение

Расстояние от точки M до центра O окружности равно диаметру этой окружности. Через точку M проведены две прямые, касающиеся окружности в точках A и B. Найдите углы треугольника AOB.

ВверхВниз   Решение

Автор: Печковский А.Н.

На шахматной доске размером 8×8 отмечены 64 точки — центры всех клеток. Можно ли отделить все точки друг от друга, проведя 13 прямых, не проходящих через эти точки?

ВверхВниз   Решение

Постройте треугольник, если известны отрезки, на которые вписанная окружность делит его сторону, и радиус вписанной окружности.

ВверхВниз   Решение

Существует ли такой выпуклый 1976-гранник, который обладал бы следующим свойством: при произвольной расстановке стрелок на концах его рёбер сумма полученных векторов отлична от 0?

ВверхВниз   Решение

Из общей точки проведены к окружности две касательные. Радиус окружности равен 11, а сумма касательных равна 120.
Найдите расстояние от центра до общей точки касательных.

ВверхВниз   Решение

Докажите, что высота неравнобедренного прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, меньше половины гипотенузы.

ВверхВниз   Решение

Имеется 1000 монет, среди них 0, 1 или 2 фальшивые. Известно, что фальшивые монеты имеют одинаковую массу, отличную от массы нефальшивых монет. Можно ли за три взвешивания на чашечных весах без гирь определить, есть ли фальшивые монеты и легче они или тяжелее нормальных? (Количество монет определять не надо.)

ВверхВниз   Решение

Докажите, что множество простых чисел вида  p = 6k + 5  бесконечно.

ВверхВниз   Решение

Пусть на плоскости есть пять точек общего положения, то есть никакие три из них не лежат на одной прямой и никакие четыре — на одной окружности. Докажите, что среди этих точек есть две такие, что они лежат по разные стороны от окружности, проходящей через оставшиеся три точки.

ВверхВниз   Решение

В государстве имеют хождение монеты в один золотой и в один грош, причём один золотой составляет 1001 грошей.
Можно ли, имея 1986 золотых, купить без сдачи несколько предметов по 1987 грошей?

ВверхВниз   Решение

Доказать, что  3n + 1  не делится на 10100.

ВверхВниз   Решение

В треугольнике ABC проведены медианы AD и BE. Углы CAD и CBE равны 30o. Доказать, что треугольник ABC правильный.

ВверхВниз   Решение

На поле 10 на 10 для игры в "Морской Бой" стоит один четырехпалубный корабль. Какое минимальное число выстрелов надо произвести, чтобы наверняка его ранить?

ВверхВниз   Решение

На всех ребрах куба стоит по числу. На каждой грани (квадрате) пишется сумма четырех чисел, расположенных на ее ребрах (сторонах квадрата).  Расставьте числа 1 и -1 на ребрах так, чтобы все числа на гранях были различны.

ВверхВниз   Решение

Докажите, что остаток от деления многочлена P(x) на  x – c  равен P(c).

ВверхВниз   Решение

Можно ли из какой-то точки плоскости провести к графику многочлена n-й степени больше чем n касательных?

ВверхВниз   Решение

Найдите все значения x, удовлетворяющие неравенству  (2 – a)x³ + (1 – 2a)x² – 6x + 5 + 4a – a² < 0  хотя бы при одном значении a из отрезка  [–1, 2].

ВверхВниз   Решение

Пусть P(x) и Q(x) – многочлены, причём Q(x) не равен нулю тождественно. Докажите, что существуют такие многочлены T(x) и R(x), что
P(x) = Q(x)T(x) + R(x)  и  deg R(x) < degQ(x);  при этом T(x) и R(x) определяются однозначно.

ВверхВниз   Решение

Докажите, что многочлен степени n имеет не более чем n корней.

ВверхВниз   Решение

Докажите, что из равенства  P(x) = Q(x)T(x) + R(x)  следует соотношение  (P(x), Q(x)) = (Q(x), R(x)).

ВверхВниз   Решение

Как правило знаков Декарта применить к оценке числа отрицательных корней многочлена  f(x) = anxn + ... + a1x + a0?

ВверхВниз   Решение

Пусть P(x) и Q(x) – многочлены, причём Q(x) не равен нулю тождественно и P(x) не делится на Q(x). Докажите, что при некотором  s ≥ 1  существуют такие многочлены  A0(x), A1(x), ..., As(x)  и  R1(x), ..., Rs(x),  что  degQ(x) > degR1(x) > degR2(x) > ... > degRs(x) ≥ 0,
    P(x) = Q(x)A0(x) + R1(x),
    Q(x) = R1(x)A1(x) + R2(x),
    R1(x) = R2(x)A2(x) + R3(x),
      ...
    Rs–2(x) = Rs–1(x)As–1(x) + Rs(x),
    Rs–1(x) = Rs(x)As(x)
и  (P(x), Q(x)) = Rs(x).

ВверхВниз   Решение

Докажите, что количество положительных корней многочлена  f(x) = anxn + ... + a1x + a0  не превосходит числа перемен знака в последовательности  an, ..., a1, a0.

ВверхВниз   Решение

Найдите угол при вершине осевого сечения прямого кругового конуса, если известно, что существуют три образующие боковой поверхности конуса, попарно перпендикулярные друг другу.

ВверхВниз   Решение

Найдите все положительные корни уравнения  xx + x1–x = x + 1.

ВверхВниз   Решение

Найти все решения системы уравнений


удовлетворяющие условиям 0 xπ,;; 0 yπ .

ВверхВниз   Решение

Существуют ли в пространстве 4 точки A,B,C,D такие, что AB=CD=8 см; AC=BD=10 см; AB+BC=13 см?

ВверхВниз   Решение

Около окружности описана равнобочная трапеция. Площадь четырёхугольника с вершинами в точках касания составляет площади трапеции. Найдите отношение оснований трапеции.

ВверхВниз   Решение

В равнобедренном треугольнике ABC боковые стороны AB и BC равны a . Окружность проходит через точку A , касается стороны BC в точке B и пересекает основание AC в точке D . Найдите радиус этой окружности, если = k .

ВверхВниз   Решение

Отрезок BE разбивает треугольник ABC на два подобных треугольника, причём коэффициент подобия равен    Найдите углы треугольника ABC.

ВверхВниз   Решение

По трем прямолинейным дорогам с постоянными скоростями идут три пешехода. В начальный момент времени они не находились на одной прямой. Докажите, что они могут оказаться на одной прямой не более двух раз.

ВверхВниз   Решение

На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты точки A1, B1 и C1 так, что отрезки AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке. Прямые A1B1 и A1C1 пересекают прямую, проходящую через вершину A параллельно стороне BC, в точках C2 и B2 соответственно. Докажите, что AB2 = AC2.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 16 17 18 19 20 21 22 >> [Всего задач: 176]      

  с решениями  

Задача 108005  (#05.071.1)

Темы:   [ Точка Нагеля. Прямая Нагеля ]
[ Теоремы Чевы и Менелая ]
Сложность: 3
Классы: 8,9

Докажите, что отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками касания противоположных сторон с соответствующими вневписанными окружностями, пересекаются в одной точке {(точка Нагеля))
Прислать комментарий     Решение

Задача 56917  (#05.072)

Тема:   [ Теоремы Чевы и Менелая ]
Сложность: 5
Классы: 9

Докажите, что высоты остроугольного треугольника пересекаются в одной точке.
Прислать комментарий     Решение

Задача 56918  (#05.073)

Тема:   [ Теоремы Чевы и Менелая ]
Сложность: 5
Классы: 9

Прямые AP, BP и CP пересекают стороны треугольника ABC (или их продолжения) в точках A1, B1 и C1. Докажите, что:
а) прямые, проходящие через середины сторон BC, CA и AB параллельно прямым AP, BP и CP, пересекаются в одной точке;
б) прямые, соединяющие середины сторон BC, CA и AB с серединами отрезков AA1, BB1 и CC1, пересекаются в одной точке.
Прислать комментарий     Решение

Задача 56919  (#05.074)

Тема:   [ Теоремы Чевы и Менелая ]
Сложность: 5
Классы: 9

На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты точки A1, B1 и C1 так, что отрезки AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке. Прямые A1B1 и A1C1 пересекают прямую, проходящую через вершину A параллельно стороне BC, в точках C2 и B2 соответственно. Докажите, что AB2 = AC2.
Прислать комментарий     Решение

Задача 56920  (#05.075)

Тема:   [ Теоремы Чевы и Менелая ]
Сложность: 5
Классы: 9

а) Пусть  $ \alpha$,$ \beta$ и $ \gamma$ — произвольные углы, причем сумма любых двух из них меньше  180o. На сторонах треугольника ABC внешним образом построены треугольники  A1BC, AB1C и ABC1, имеющие при вершинах A, B и C углы  $ \alpha$,$ \beta$ и $ \gamma$. Докажите, что прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке.
б) Докажите аналогичное утверждение для треугольников, построенных на сторонах треугольника ABC внутренним образом.
Прислать комментарий     Решение

Страница: << 16 17 18 19 20 21 22 >> [Всего задач: 176]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .